Extrempunkte/Ortslinie < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f_{t}(x)= [/mm] 1/(4t) [mm] x^4 [/mm] - [mm] 1/2tx^2 [/mm] - [mm] 2t^3
[/mm]
1.Berechnen sie Extrempunkte und Wendepunkte
2.Die Hoch-und Tiefpunkt aller [mm] K_{t} [/mm] liegen auf welcher Ortslinie? |
Hallöchen!
Ich hänge ein bisschen beim rechnen.
Also:
Als Extrempunkte habe ich [mm] x_{1}=t [/mm] und [mm] x_{2}=-t [/mm] und [mm] x_{3}=0 [/mm]
(dazu hab ich einfach die erste Ableitung Null gesetzt und aufgelöst)
Nun möchte ich ja die y-Werte für meine Extrempunkte ausrechnen:
[mm] f_{t}(t)= [/mm] 1/(4*t) * [mm] t^4 [/mm] - [mm] 1/2t*t^2 [/mm] - [mm] 2t^3
[/mm]
nun komm ich irgendwie nicht weiter..
und beim zweiten genauso:
[mm] f_{t}(-t)= [/mm] 1/(4*t) * [mm] (-t)^4 [/mm] - [mm] 1/2t*(-t)^2 [/mm] - [mm] 2t^3
[/mm]
=
Ich hab mit dem Auflösen irgendwie total das Problem, (halt mit dem Umstellen)
Wäre einfach toll, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte.
Danke
Kris
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Du hast die Extremstellen-Kandidaten richtig berechnet: 0,-t und t
Es ist
[mm] f_{t}(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4*t}*0^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t*0^{2}-2*t^{3}
[/mm]
= 0 - 0 - [mm] 2*t^{3}
[/mm]
= [mm] -2*t^{3}
[/mm]
Bei den weiteren Extremwert-Kandidaten -t und t musst du einfach, wie du schon richtig hingeschrieben hast, die Werte einsetzen. Für t und -t wird derselbe y-Wert herauskommen, da es sich bei f um eine y-achsen-symmetrische Funktion handelt (Im Funktionsterm finden sich nur gerade Potenzen von x).
Es reicht also, wenn du es für t ausrechnest. Es ist
[mm] f_{t}(-t) [/mm] = [mm] f_{t}(t)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4*t}*t^{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t*t^{2}-2*t^{3}
[/mm]
Nun t im ersten Bruch mit der Potenz kürzen, beim zweiten Summanden die Potenz entsprechend erhöhen:
= [mm] \bruch{1}{4}*t^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t^{3}-2*t^{3}
[/mm]
Nun haben wir nur noch [mm] t^{3} [/mm] - Potenzen und können sie zusammenfassen, wenn wir die Brüche auf einen Hauptnenner bringen. (was hier 4 sein wird)
= [mm] \bruch{1}{4}*t^{3} [/mm] - [mm] \bruch{2}{4}*t^{3}-\bruch{8}{4}t^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-2-8}{4}*t^{3}
[/mm]
= [mm] -\bruch{9}{4}*t^{3}.
[/mm]
--> Mögliche Extrempunkte bei
[mm]
P_{1}(0|-2*t^{3})
P_{1}(t | -\bruch{9}{4}*t^{3})
P_{1}(-t | -\bruch{9}{4}*t^{3})
[/mm]
Um herauszufinden, um was für eine Art von Extremum es sich handelt, musst du deine [mm] x_{1/2/3} [/mm] aber noch in die zweite Ableitung einsetzen 
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ok, vielen Dank! Das hab ich alles gut nachvollziehen können..
Nun überprüfe ich noch die Art der Extremata:
[mm] f_{t}´´(0)=3*1/t [/mm] * [mm] 0^3-t= [/mm] 0 -->das bedeutet= mög. Wendepkt.
[mm] f_{t}´´(t)=3*1/t* t^2-t [/mm] = 3 >0 -->Tiefpunkt
[mm] f_{t}´´(-t)=3*1/t *(-t)^2-t [/mm] = ?...
Ok..Irgendwie hacke ich schon wieder..*g*..oje..
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Meiner Meinung nach ist:
[mm] f_{t}''(x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{t}*x^{2}-t
[/mm]
Deswegen weiß ich jetzt nicht, woher du das hoch 3 holst...
Auf jeden Fall ist:
[mm] f_{t}''(0) [/mm] = 0
--> Möglicher Wendepunkt kann sein, dazu muss die dritte Ableitung nichtgleich 0 sein
(logisch, jeder einzelne Summand wird ja 0 !)
Du musst nun wieder nur eins der beiden Extremstellen t oder -t untersuchen, aufgrund der y-Achsen-Symmetrie der Funktion f wird die andere Extremstelle genau dasselbe Verhalten aufweisen! (Nicht zuletzt natürlich deswegen, weil das [mm] x^{2} [/mm] in der zweiten Ableitungsfunktion von f das Plus/Minus vor dem t vernichtet )
[mm] f_{t}''(-t) [/mm] = [mm] f_{t}''(t)
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{t}*t^{2}-t
[/mm]
Im ersten Bruch die t's kürzen:
= 3*t-t
= 2*t
Naja, und nun musst du überprüfen, für welche t dieser Term negativ wird und für welche t positiv und dann kannst du genau sagen, wann deine Extrempunkte Minima bzw. Maxima sind.
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ok, wie genau schreib ich das jetzt am besten auf?
So?:
[mm] P_{1}(t [/mm] | [mm] -\bruch{9}{4}\cdot{}t^{3}) [/mm] = Mamimum wenn t<0
und Minumum wenn t>0
und bei [mm] P_{1}(-t [/mm] | [mm] -\bruch{9}{4}\cdot{}t^{3}= [/mm] Mamimum wenn t<0
und Minumum wenn t>0
[mm] P_{1}(0|-2\cdot{}t^{3}) [/mm] ??
und nochmal zu dem Wendepunkt:
die 3.te Ableitung ist ungleich 0. müss ich da nun noch was berechnen?
Ich hab als Wendepunkt [mm] W(t/\wurzel{3}| -t/\wurzel{3}) [/mm] raus..ist das alles was ich da brechnen muss?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 17.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
wenn doch gilt:
$ [mm] f_{t}''(x) [/mm] $=$ [mm] \bruch{3}{t}\cdot{}x^{2}-t [/mm] $
dann ist es doch:
$ [mm] f_{t}''(0) [/mm] $ = -t und nicht 0?
Deine Fallunterscheidung scheint so ok.
Du kannst sie z.B. in Form von:
[mm] f_{t}(t)= -\bruch{9}{4} [/mm] * [mm] t^{3} [/mm] = [mm] \begin{cases} Minimum, & \mbox{für } t \mbox{ > 0} \\ Maximum, & \mbox{für } t \mbox{ < 0} \end{cases}
[/mm]
darstellen.
Für den Wendepunkt habe ich die gleichen Koordinaten; jedoch sowohl [mm] \bruch{t}{\wurzel{3}} [/mm] als auch [mm] -\bruch{t}{\wurzel{3}}.
[/mm]
Für diese Koordinaten, welche ja die Nullstellen der 2. Ableitung sind, kannst du nicht pauschal sagen, dass sie Wendepunkt sind, da [mm] f'''(\bruch{t}{\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \bruch{3,4641}{t} [/mm] und
[mm] f'''(-\bruch{t}{\wurzel{3}}) [/mm] = [mm] \bruch{-3,4641}{t}.
[/mm]
Da ist auch noch eine Fallunterscheidung von t notwendig.
Der Aufgabenstellung nach sollst du auch noch eine Ortskurve für die Extrempunkte berechnen.
Lg
Marco
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 So 17.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Mir fällt gerade auf, dass t=0 ja sehr unpraktisch wäre, da quasi alles 0 wäre.
Gibt es keinerlei Einschränkungen bei der Aufgabenstellung?
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doch: x [mm] \in \IR
[/mm]
t>0
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Meine Ortskurven sind nun zum einen:
[mm] =-9/4*t^3
[/mm]
und
[mm] =-9/4*-t^3
[/mm]
Oder ist das verkehrt?
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Ja, das sind die beiden Ortskurven. Allerdings gilt die eine, nämlich
[mm]r_{1}(x) = -\bruch{9}{4}*x^{3}[/mm]
nur für x [mm] \ge [/mm] 0 (sie würde eigentlich für x [mm] \in \IR [/mm] gelten, aber wegen t > 0 deckt sie somit auch "unsichtbare" Extrempunkte ab), die andere
[mm]r_{2}(x) = \bruch{9}{4}*x^{3}[/mm]
gilt für x < 0.
Wenn man nur eine Funktion möchte, kann man diese auch als
[mm]r(x) = -\left|\bruch{9}{4}*x^{3}\right|[/mm]
zusammenfassen.
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Ok..ich fasse das nochmal alles zusammen, damit ich dass nachher auch richtig im Heft stehen habe:
Also :
Extremata bei:
$ [mm] P_{1}(0|-2\cdot{}t^{3}) P_{2}(t [/mm] | [mm] -\bruch{9}{4}\cdot{}t^{3}) P_{3}(-t [/mm] | [mm] -\bruch{9}{4}\cdot{}t^{3}) [/mm] $
gilt nun für alle:
$ [mm] \begin{cases} Minimum, & \mbox{für } t \mbox{ > 0} \\ Maximum, & \mbox{für } t \mbox{ < 0} \end{cases} [/mm] $ ???
Zu dem möglichen Wendepunkt:
$ [mm] W(t/\wurzel{3}| -t/\wurzel{3}) [/mm] $
gilt wenn: ???
und die Ortskurve ist NUn:
$ r(x) = [mm] -\left|\bruch{9}{4}\cdot{}x^{3}\right| [/mm] $
---Das wär total lieb wenn das jemand kontrollieren /ergänzen oder verbessern könnte! (muss die Aufgabe leider abgeben...)
DankE!!
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Zunächst ein wenig Latein :
Extremum (O-Dekl. Neutrum Nominativ Singular)
-->Extrema (O-Dekl. Neutrum Nominativ Plural)
Ja, alle drei angegebenen Punkte sind auch wirklich Extrempunkte. Der Punkt P1 ist kein Wendepunkt; sondern ebenfalls ein Extrempunkt (Da wurde ich oben schon korrigiert), denn die zweite Ableitung ergibt bei Einsetzen -t.
--> Da t nur positiv sein kann (t > 0), ergibt [mm] f_{t}''(0) [/mm] = -t auf jeden Fall immer eine negative Zahl --> lokales Maximum an Stelle 0.
Die anderen beiden sind für positive t stets lokale Minima (eigentlich sogar global, aber es sind eben zwei Punkte, die am niedrigsten sind deswegen lieber nur lokal), denn die zweite Ableitung an den Stelle t und -t ist für t > 0 stets positiv (siehe oben).
Bei den Ortskurven würde ich die beiden Teilkurven noch mit hinschreiben und erst dann so zusammenfassen; etwa der Form:
"Wegen t > 0 decken die beiden Ortskurven auch Extrempunkte ab, die gar nicht vorhanden sind. Die Ortskurve kann deshalb folgendermaßen zusammengefasst werden:"
[mm] r_{1}(x) [/mm] = [mm] -\bruch{9}{4}*x^{3} [/mm] (für x > 0) |
|)--> r(x) = [mm] -\left|\bruch{9}{4}*x^{3}\right|
[/mm]
[mm] r_{2}(x) [/mm] = [mm] \bruch{9}{4}*x^{3} [/mm] (für x < 0) |
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oh, mir ist gerade noch aufgefallen, dass ich doch noch die y-werte der beiden wendepunkte berechnen muss oder?
das wäre dann:
[mm] f_{t}($ \bruch{t}{\wurzel{3}} [/mm] $)= $ [mm] \bruch{1}{4\cdot{}t}\cdot{}(t/\wurzel{3})^{4}- [/mm] 1/2*t [mm] (t/\wurzel{3})^2-2t^3 [/mm] $
und für
[mm] f_{t}($ \bruch{-t}{\wurzel{3}} [/mm] $)=
$ [mm] \bruch{1}{4\cdot{}t}\cdot{}(-t/\wurzel{3})^{4}- [/mm] 1/2*t [mm] (-t/\wurzel{3})^2-2t^3 [/mm] $
irgendwie bekomm ich das nicht wirklich hin...oje..
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Die Wendepunkte hast du richtig berechnet es ist
[mm] x_{W1} [/mm] = [mm] -\bruch{t}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] x_{W2} [/mm] = [mm] \bruch{t}{\wurzel{3}}
[/mm]
Die y-Werte dazu:
[mm] f(x_{W2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4*t}*x_{W2}^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t*x_{W2}^{2}-2*t^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{4*t}*(\bruch{t}{\wurzel{3}})^4 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t*(\bruch{t}{\wurzel{3}})^{2}-2*t^{3}
[/mm]
Zunächst die Potenzen auswerten:
= [mm] \bruch{1}{4*t}*\bruch{t^{4}}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*t*\bruch{t^{2}}{3}-2*t^{3}
[/mm]
Nun kürzen und Potenzen zusammenfassen:
= [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{t^{3}}{9} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{t^{3}}{3}-2*t^{3}
[/mm]
Brüche zusammenmultiplizieren und Hauptnenner bilden:
= [mm] \bruch{1}{36}*t^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*t^{3}-2*t^{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{36}*t^{3} [/mm] - [mm] \bruch{6}{36}*t^{3}-\bruch{72}{36}*t^{3}
[/mm]
Nun einzelne Summanden auf einen Bruch und ausrechnen:
= [mm] \bruch{1 - 6 - 72}{36}*t^{3}
[/mm]
= [mm] -\bruch{77}{36}*t^{3}.
[/mm]
Aufgrund der Symmetrie von f ist
[mm] f(x_{W2}) [/mm] = [mm] f(x_{W1})
[/mm]
Wie sieht es mit der Art der Wendepunkte aus? Müsst ihr die auch machen?
Falls
f'''(x) > 0, dann ist der Wendepunkt von rechts- nach linksgekrümmt (von konkav nach konvex)
f'''(x) < 0, dann ist der Wendepunkt von links- nach rechtsgekrümmt (von konvex nach konkav)
Nur zum Überprüfen:
[mm] x_{W1} [/mm] ist für t > 0 immer von links nach rechts,
[mm] x_{W2} [/mm] ist für t > 0 immer von rechts nach links.
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