Extremstelle / Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Di 24.11.2009 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | | Es soll das Extremum und die Extremstelle der Funktion f(x,y,z) = xyz mit x,y,z > 0 und der Nebenbedingung x+y+z=1 bestimmt sowie gezeigt werden, dass es sich um ein Maximum handelt. |
Ich wende LaGrange Multiplikator an:
g(x,y,z) = x + y + z - 1
L = f - [mm] \lambda [/mm] g
L = xyz - [mm] \lambda [/mm] (x + y + z - 1)
Abgeleitet ergibt den Gradienten:
[mm] \bruch{\delta L}{\delta xyz} [/mm] = [mm] \vektor{yz - \lambda \\ xz - \lambda \\ xy - \lambda}
[/mm]
Den Gradienten gleich 0 gesetzt und die Nebenbedingung dazu ergibt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Unbekannten dessen Lösung wegen x,y,z > 0 x = y = z = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] sein müsste.
Ist das soweit richtig?
Um zu zeigen, dass es sich um ein Maximum handelt, hab ich anschließend die Hesse Matrix gebildet:
[mm] \pmat{ 0 & z & y \\ z & 0 & x \\ y & x & 0 }
[/mm]
Wie man sieht (Hauptdiagonale = 0) ist diese aber indefinit und damit müsste ein Sattelpunkt aber kein Maximum vorliegen.
Wo liegt denn da mein Fehler?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Di 24.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
Hi,
den Satz mit dem Bilden Hesse-Matrix kannst du hier nicht verwenden.
Mache dir klar, wieso!
Der Satz über Lagrange-Multiplikatoren gibt dir immer nur eine notwendige Bedingung über die Existenz von Extrema unter Nebenbedingungen.
Du musst also anders an die Aufgabe rangehen.
LG, Alex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 16:49 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du zeigst einfach, dass es keine Maxima und Minima geben kann:
Kandidat: x=y=z=1/3
in der Nachbarschaft für beliebige a,b
(1/3+a)*(1/3+b)*(1/3-a-b)
ausrechnen. zeigen, dass es durch Wahl von a,b in der nachbarschaft Punkte gibt, die grösser [mm] 1/3^3 [/mm] und kleiner [mm] ^1/3^3 [/mm] sind.
andere Methode:
einsetzen der Nebenbed.
x*y*(1-x-y) kann man beliebig gross machen: x=y=a>0 ergibt
[mm] a^2(1-2a) [/mm] beliebig klein für a gross, also kein Min. oder x=y=-a<0
ergibt [mm] a^2(1+2a) [/mm] beliebig gross also gibt es auch kein Max.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:00 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> Du zeigst einfach, dass es keine Maxima und Minima geben
> kann:
> Kandidat: x=y=z=1/3
> in der Nachbarschaft für beliebige a,b
> (1/3+a)*(1/3+b)*(1/3-a-b)
> ausrechnen. zeigen, dass es durch Wahl von a,b in der
> nachbarschaft Punkte gibt, die grösser [mm]1/3^3[/mm] und kleiner
> [mm]^1/3^3[/mm] sind.
> andere Methode:
> einsetzen der Nebenbed.
> x*y*(1-x-y) kann man beliebig gross machen: x=y=a>0
> ergibt
> [mm]a^2(1-2a)[/mm] beliebig klein für a gross, also kein Min. oder
> x=y=-a<0
> ergibt [mm]a^2(1+2a)[/mm] beliebig gross also gibt es auch kein
> Max.
> Gruss leduart
Hallo leduart,
obiges funktioniert nicht, siehe:
https://www.vorhilfe.de/read?i=621665
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Danke fred, ich bin inzwischen auch mit meiner Methode zu nem lokalen Max vorgedrungen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich habe gerade gesehen, dass für kleine a,b
immer gilt (1/3+a)*(1/3+b)*(1/3-a-b) [mm] <1/3^3
[/mm]
nur global gilt es nicht. Man hat also ein lokales Max.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Di 24.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier rein:
http://de.wikipedia.org/wiki/Ungleichung_vom_arithmetischen_und_geometrischen_Mittel
In Deiner Aufgabe ist n=3.
Aus obigem Link folgt:
[mm] $\wurzel[3]{xyz} \le \bruch{x+y+z}{3}$
[/mm]
Wegen der Nebenbedingung $x+y+z=1$ erhalten wir
[mm] $\wurzel[3]{xyz} \le \bruch{1}{3}$
[/mm]
Also
$xyz [mm] \le (\bruch{1}{3})^3$ [/mm] für alle x,y,z>0 mit $x+y+z=1$
Fazit:
$f(x,y,z) [mm] \le [/mm] f(1/3,1/3,1/3)$ für alle x,y,z>0 mit $x+y+z=1$
f hat also im Punkt (1/3,1/3,1/3) sein Maximum.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Ikit |
Danke das hab ich verstanden. Ist ja ziemlich leicht mit dieser Formel.
Das scheint mir aber doch ein wenig getrickst und nur auf genau diese Aufgabe zu passen. Gibt es denn da kein allgemeines Vorgehen zur Bestimmung von Maxima / Minima?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Mi 25.11.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Danke das hab ich verstanden. Ist ja ziemlich leicht mit
> dieser Formel.
>
> Das scheint mir aber doch ein wenig getrickst und nur auf
> genau diese Aufgabe zu passen. Gibt es denn da kein
> allgemeines Vorgehen zur Bestimmung von Maxima / Minima?
Man hat hierbei einfach das Problem, dass die Lagrange-Multiplikatoren nur eine notwendige Bedingung aber keine hinreichende sind. Das ist ja bei Extremwertproblemen ohne Nebenbedingungen nicht so - da hat man die Definitheit der Hesse-Matrix als hinreichende Bedingung.
Das einzige allg. Verfahren was ich für so etwas kenne ist, wenn die Nebenbedingungen eine kompakte Menge bilden (z.B. die Nebenbedingung [mm] x^2+y^2+z^2=1). [/mm] Dann kannste nämlich damit argumentieren, dass deine Funktion, da sie ja stetig ist, ein Max und ein Min annehmen muss, d.h. wenn du zwei Kandidaten für Extremstellen gefunden hast, dann weisst du sofort, dass es auch wirklich Extrema sind - musst nur noch schauen welche (z.B. durch einfaches Einsetzen).
LG, Alex
|
|
|
|
