Extremstellen berechnen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie für x>0 alle lokalen Extremstellen und Extremwerte von f in Abhängigkeit von n, n [mm] \in \IN [/mm] \ {0}. Handelt es sich um Maxima oder Minima?
a) [mm] f(x)=x^{n}*e^{-x}
[/mm]
b) [mm] f(x)=x*e^{-n*x} [/mm] |
Ich weiß zwar das ich die Ableitungen machen muss, und f'(x)=0, sowie f''(x)<>0 sein müssen, aber bis dahin komme ich gar nicht erst...
zu a)
Bei a) komme ich ab folgendem Punkt nicht mehr weiter:
[mm] f(x)=x^{n}*e^{-x}
[/mm]
[mm] f'(x)=nx^{(n-1)}*e^{-x}+x^{n}*(-e^{-x}) [/mm] = [mm] e^{-x}*(nx^{(n-1)}-x^{n})
[/mm]
[mm] f''(x)=(-e^{-x})*(nx^{(n-1)}-x^n)+e^{-x}*((n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)})
[/mm]
[mm] =e^{-x}(-nx^{(n-1)}+x^n+(n^2-n)x^{(n-2)}-nx^{(n-1)})
[/mm]
[mm] =e^{-x}(-2nx^{(n-1)}+x^n+(n^2-n)x^{(n-2)})
[/mm]
notw. Bed.: f'(x)=0
[mm] e^{-x}(nx^{(n-1)}-x^n)=0
[/mm]
zu b)
Bei b) stocke ich noch früher:
[mm] f(x)=x*e^{-n*x}
[/mm]
[mm] f'(x)=1*e^{-nx}+x*(-ne^{-nx})=e^{-nx}*(-nx)=-nxe^{-nx}
[/mm]
[mm] f''(x)=(-nx)(-nx)e^{-nx}=(nx)(nx)e^{-nx}
[/mm]
ICh hoffe mir kann jemand helfen
Danke schon mal
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Wie soll ich denn [mm] x^{n-1} [/mm] ausklammern, ich habe das doch nur einmal da stehen, das andere x ist doch [mm] x^n [/mm] und nicht [mm] x^{n-1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Krümel!
Das ist einfache Potenzrechnung. Es gilt:
[mm] $x^n [/mm] \ = \ [mm] x^{n-1+1} [/mm] \ = \ [mm] x^{n-1}*x^1$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Ok, dann hätte ich also: [mm] x^{(n-1)}(n-x)=0
[/mm]
Dann könnte ich das glaube ich auch so schreiben:
[mm] x^{(n-1)}=0 [/mm] (Wie löse ich das nach x auf?) und
n-x=0 woraus folgt x1=n
Ist bei dieser Idee irgendetwas Brauchbares dabei, ich weiß, ich bin nicht wirklich bewandert in Mathe :(
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> Ok, dann hätte ich also: [mm]x^{(n-1)}(n-x)=0[/mm]
> Dann könnte ich das glaube ich auch so schreiben:
> [mm]x^{(n-1)}=0[/mm] (Wie löse ich das nach x auf?) und
> n-x=0 woraus folgt x1=n
Ich bin grad nicht genau sicher ob man das so aufspalten kann, aber ich antworte dir zu deinem Problem [mm]x^{(n-1)}=0[/mm].
Und zwar sieht das kompliziert aus, ist es aber nicht.
Wie löst du sowas [mm] x^2 [/mm] = 4 - [mm] \sqrt[2]{4} [/mm] = |2|? Genau so löst man [mm] x^{(n-1)}=0.
[/mm]
[mm] x=\sqrt[n-1]{0}
[/mm]
> Ist bei dieser Idee irgendetwas Brauchbares dabei, ich
> weiß, ich bin nicht wirklich bewandert in Mathe :(
[edit] Ich find den "teilweise beantwortet"-Knopf nicht ...
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Das würde dann also heißen ich hätte x1=n und x2=0 ???
Dann setzte ich das einfach mal in die zweite Ableitung ein:
f''(0)=1
Das ist größer als 0, also ein Minimum bei TP (0/0)
Stimmt das?
[mm] f''(n)=e^{-n}(-2n*n^{(n-1)}+n^n+(n^2-n)n^{(n-2)})
[/mm]
[mm] =e^{-n}-2n^n+n^n+(n^3-n^2)n^{(n-2)})
[/mm]
[mm] =e^{-n}-n^n+(n^3-n^2)^{(n-2)}
[/mm]
Angenommen das wäre richtig, dann habe ich trotzdem keine Ahnung, was jetzt Hoch- bzw. Tiefpunkte in Abhängigkeit von n wären
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Hallo Kruemel1008,
die beiden Stellen mit waagrechter Tangente sind [mm] x_{1}=n [/mm] und [mm] x_{2}=0, [/mm] richtig!!!
Du hast jetzt zwei Möglichkeiten, entweder du benutzt die zweite Ableitung oder du untersuchst das Monotonieverhalten:
Da die zweite Ableitung kein wirklich ansehnlicher Term ist und nach Einsetzen von n nicht gerade klarer wird, was Sache ist, würde ich empfehlen, die Frage nach der Art des Extremums mithilfe des Monotonieverhaltens der Funktion f zu klären.
Hierfür brauchst du die zweite Ableitung nämlich gar nicht zu bilden, sondern es genügt die Betrachtung der ersten Ableitung, sprich der Steigung, in entsprechenden Intervallen von x.
Ist dir das Verfahren bekannt? Am übersichtlichsten ist es meiner Meinung nach mit einer Monotonie-Tabelle.
MfG,
MaTEEler
PS.: Mir ist aufgefallen, wenn man die zweite Ableitung geschickt aufstellt, klappt das prima und man sieht sofort welches Vorzeichen f´´(n) hat.
Hierfür musst du allerdings die zweite Ableitung am besten ausgehend von der ersten Ableitung der Form mit dem ausgeklammerten [mm] x^{n-1} [/mm] bilden. Mit Anwendung der Produktregel und keinen (!) weiteren Umformungen fallen dann nämlich zwei der drei Summanden nach Einsetzen von n weg, da diese jeweils einen Faktor (x-n) enthalten. Der Summand der stehen bleibt lässt sich dann mit Erinnerung an n [mm] \in \IN [/mm] und dem Wissen von [mm] e^{x}>0 [/mm] für allel x sehr schnell untersuchen.
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Tut mir Leid, davon hab ich noch nie was gehört
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tut mir leid, davon hab ich noch nie was gehört
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Sa 29.01.2011 | | Autor: | MaTEEler |
Dann probiers doch am einfachsten mal mit der 2. Ableitung wie ich es noch unter PS beschrieben hab. Das klappt eigentlich prima und geht auch recht schnell und einfach. Voraussetzung dafür ist, dass du die 2. Ableitung dafür in der richtigen Form erhälst. Das kriegst du aber, wie beschrieben, wenn du die erste Ableitung ableitest. Und zwar die Darstellung der ersten Ableitung, in der der Term [mm] x^{n-1} [/mm] ausgeklammert ist.
Die hast du doch, oder?!
Falls nicht, das ist die Form der ersten Abl. von der ich rede:
[mm] f´_{n}(x)=(n-x)*x^{n-1}*e^{-x}
[/mm]
Diese erste Ableitung einfach noch einmal ableiten (Produktregel beachten, 3 Faktoren!) und dann n einsetzen!
Gruß,
MaTEEler
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Bei b) stocke ich noch früher:
> [mm]f(x)=x*e^{-n*x}[/mm]
> [mm]f'(x)=1*e^{-nx}+x*(-ne^{-nx})[/mm]
Bis hierhin stimmt es.
> [mm]=e^{-nx}*(-nx)=-nxe^{-nx}[/mm]
Dann klammerst Du falsch aus.
Gruß
Loddar
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Wie soll ich das denn sonst ausklammern ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Wie soll ich das denn sonst ausklammern ?
Richtig, so dass auch zwei Summanden in der Klammer verbleiben:
[mm] f'(x) \ = \ 1*e^{-n*x}+x*\left(-n*e^{-n*x}\right) \ = \ e^{-n*x}*\left(\red{1}-n*x\right) [/mm]
Gruß
Loddar
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Uuups, dann versuche ich jetzt mal die zweite Ableitung:
[mm] f''(x)=-ne^{-nx}*(1-nx)+e^{-nx}*(-n)
[/mm]
[mm] =-ne^{-nx}*(1-nx)-ne^{-nx} [/mm]
[mm] =-ne^{-nx}((1-nx)+1)
[/mm]
[mm] =-ne^{-nx}(1-nx+1)
[/mm]
[mm] =-ne^{-nx}(2-nx)
[/mm]
notw. Bed.: f'(x)=0
[mm] e^{-nx}(1-nx)=0
[/mm]
Kann [mm] e^{-nx} [/mm] jetzt auch nicht null sein? -> Ich gehe jetzt einfach mal davon aus, also müsste ich dann ja nur die Klammer betrachten:
1-nx=0
x=1/n
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> Uuups, dann versuche ich jetzt mal die zweite Ableitung:
> [mm]f''(x)=-ne^{-nx}*(1-nx)+e^{-nx}*(-n)[/mm]
> [mm]=-ne^{-nx}*(1-nx)-ne^{-nx}[/mm]
> [mm]=-ne^{-nx}((1-nx)+1)[/mm]
> [mm]=-ne^{-nx}(1-nx+1)[/mm]
> [mm]=-ne^{-nx}(2-nx)[/mm]
Ich gehe mal davon aus das ihr schon richtig umgeformt habt.
> notw. Bed.: f'(x)=0
> [mm]e^{-nx}(1-nx)=0[/mm]
> Kann [mm]e^{-nx}[/mm] jetzt auch nicht null sein? -> Ich gehe jetzt
> einfach mal davon aus,
Ja, [mm] e^x [/mm] kann nie Null werden. Genauso wie es kein ln(0) gibt.
>also müsste ich dann ja nur die
> Klammer betrachten:
> 1-nx=0
> x=1/n
Richtig!
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Ok, dann versuche ich es mal weiter:
hinr, Bed.: f'(x)=0 und f''(x)<>0
[mm] f''(1/n)=-ne^{-n\bruch{1}{n}}(2-n\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] =-ne^{-1}(2-1)
[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{ne}
[/mm]
für n<0: Minimum [mm] TP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})
[/mm]
für n>0: Maximum [mm] HP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})
[/mm]
Stimmt das so??? ( Bestimmt nicht ;))
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Hallo Kruemel1008,
> Ok, dann versuche ich es mal weiter:
> hinr, Bed.: f'(x)=0 und f''(x)<>0
> [mm]f''(1/n)=-ne^{-n\bruch{1}{n}}(2-n\bruch{1}{n})[/mm]
> [mm]=-ne^{-1}(2-1)[/mm]
Bis hierher ist es richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]=-\bruch{1}{ne}[/mm]
>
> für n<0: Minimum [mm]TP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})[/mm]
> für n>0: Maximum [mm]HP(\bruch{1}{n}/\bruch{1}{ne})[/mm]
>
> Stimmt das so??? ( Bestimmt nicht ;))
n ist doch aus dem Bereich der natürlichen Zahlen ([mm]n \in \IN[/mm]).
Damit liegt die Art des Extremums fest.
Gruss
MathePower
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Achso, das heißt das mein Hochpunkt das Ergebnis ist???
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Hallo Kruemel1008,
> Achso, das heißt das mein Hochpunkt das Ergebnis ist???
Richtig.
Gruss
MathePower
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