Extremstellen berechnen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] E:=\{(x,y)\in\IR^2 : x\ge0,y\ge0, x+y\le6\}
[/mm]
Untersuchen Sie [mm] h(x,y)=x^2*y(4-x-y) [/mm] auf E auf rel./abs. Extrema. |
Wenn man sich E veranschaulicht, dann ist die Menge in [mm] R^2 [/mm] als Fläche ein Dreieck, insbesondere also konvex.
Darum könnte man vermuten, dass h über E konvex ist. Wenn dem so wäre, könnte man zumindest leicht die globale Extremstelle finden. Um das zu prüfen müsste man die ersten zwei Ableitungen bilden:
[mm] \partial_{1}h(x,y)=8xy-3x^2y-2xy^2
[/mm]
[mm] \partial_{2}h(x,y)=4x^2-x^3-2x^2y
[/mm]
[mm] \partial_{1}\partial_{1}h(x,y)=8y-6xy-y^2
[/mm]
[mm] \partial_{2}\partial_{2}h(x,y)=-2x^2
[/mm]
[mm] \partial_{1}\partial_{2}h(x,y)=\partial_{2}\partial_{1}h(x,y)=8x-3x^2-4xy
[/mm]
Dann wäre [mm] D^2h(x,y)=H_{h}(x,y)=\pmat{
\partial_{1}\partial_{1}h(x,y) &
\partial_{2}\partial_{1}h(x,y) \\
\partial_{2}\partial_{1}h(x,y) &
\partial_{2}\partial_{2}h(x,y) }
[/mm]
h ist konvex [mm] \gdw D^2h(x,y)(v,v)\ge [/mm] 0 [mm] \forall (x,y)\inE, v\in\IR^2
[/mm]
(v,v) ist dabei eine Bilinearform. Wie genau zeige ich, dass dieses Matrixkonstrukt nicht negativ wird? Und was hat diese Bilinearform da zu bedeuten? Rechnet man im Grunde [mm] H_{h}(x,y) [/mm] (v,v) = [mm] (H_{h}(x,y)*v)*v^{T}?
[/mm]
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand dabei helfen könnte!
LG#
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 05.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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