Extremwert: Kostenfunktion < Ökonomische Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Sa 25.09.2010 | | Autor: | lilau |
| Aufgabe | Für einen Betrieb gilt die Kostenfunktion K:
K(x)= [mm] \bruch{3}{12500}x^3-\bruch{9}{250}x^2+\bruch{23}{10}x+20
[/mm]
wobei x mit x>0 die Anzahl der produzierten Mengeneinheiten bezeichnet.
a) Bestimme das Minimum der Grenzkosten K'(x) |
Hallo,
als Erstes würde ich die 1. Ableitung (wie K'(x) schon sagt) von der Kostenfunktionsgleichung machen:
K'(x) = [mm] \bruch{9}{12500}x^2-\bruch{9}{125}x+\bruch{23}{10}
[/mm]
Muss ich dann, um x herauszukriegen, die pq-Formel anwenden? Das funktioniert bei mir nämlich nicht, da am Ende die Zahl unter der Wurzel negativ ist.
Ich sitze schon stundenlang an diesen Mathehausaufgaben und bin echt hilflos. Es wäre nett, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, die 1. Ableitung ist korrekt, die hat tatsächlich keine Nullstelle, stimmt deine Funktion? Steffi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 25.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Um das Minimum der Grenzkosten K' zu bestimmen, muss man doch eigentlich die Ableitung nochmal Ableiten und dann die Nullstellen (von der Gerade die rauskommt) bestimmen, zumindest verstehe ich so die Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Sa 25.09.2010 | | Autor: | lilau |
Die zweite Ableitung wäre dann
K''(x)= [mm] \bruch{9}{6250}x-\bruch{9}{125}
[/mm]
[mm] \bruch{9}{6250}x-\bruch{9}{125}=0
[/mm]
[mm] \bruch{9}{6250}x=\bruch{9}{125}
[/mm]
[mm] x=\bruch{9}{125}/\bruch{9}{6250}
[/mm]
x=50
Hab ich das so richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Sa 25.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
jop zumindest verstehe ich so die Aufgabe.
Und der andere Weg führt ja auch zu nix.
Zur Not einfach drauf pochen, dass eben da steht man soll die Extrema der Ableitung bestimmen, und das hast du gemacht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Sa 25.09.2010 | | Autor: | lilau |
| Aufgabe | | b) Bestimme näherungsweise das Mininum der Durchschnittskosten [mm] \bruch{K(x)}{x}. [/mm] |
Muss ich dann einfach x=50 einsetzen?
[mm] \bruch{K(x)}{x}=(\bruch{3}{12500}*50^3-\bruch{9}{250}*50^2+\bruch{23}{10}*50+20)/50
[/mm]
=(30-90+115+20)/50
=1,5
Ist ein bisschen zu einfach, um wahr zu sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> b) Bestimme näherungsweise das Mininum der
> Durchschnittskosten [mm]\bruch{K(x)}{x}.[/mm]
> Muss ich dann einfach x=50 einsetzen?
Nein.
Bilde die Funktion [mm] \bruch{K(x)}{x}, [/mm] leite sie ab und setze diese Ableitung Null. Test auf Minimum nicht vergessen!
Gruß Abakus
>
> [mm]\bruch{K(x)}{x}=(\bruch{3}{12500}*50^3-\bruch{9}{250}*50^2+\bruch{23}{10}*50+20)/50[/mm]
> =(30-90+115+20)/50
> =1,5
>
> Ist ein bisschen zu einfach, um wahr zu sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 So 26.09.2010 | | Autor: | lilau |
[mm] \bruch{K(x)}{x}=(\bruch{3}{12500}*x^3-\bruch{9}{250}*x^2+\bruch{23}{10}*x+20)/x
[/mm]
[mm] =\bruch{3}{12500}*x^2-\bruch{9}{250}*x+\bruch{23}{10}+\bruch{20}{x}
[/mm]
1. Ableitung:
[mm] \bruch{K'(x)}{x}=\bruch{3}{6250}*x-\bruch{9}{250}-\bruch{20}{x^2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{3}{6250}x-\bruch{20}{x^2}=\bruch{9}{250}
[/mm]
[mm] \bruch{3}{6250}-20=\bruch{9}{250}*x^2
[/mm]
-20=75*x
[mm] x=-\bruch{4}{15}
[/mm]
Ein negatives Ergebnis ist höchstwahrscheinlich nicht möglich. Was hab ich falsch gemacht?
Und wie testet man, ob ein Minimum vorliegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:25 So 26.09.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo lilau!
> [mm]\bruch{3}{6250}x-\bruch{20}{x^2}=\bruch{9}{250}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{6250}-20=\bruch{9}{250}*x^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier fehlt hinter dem ersten Bruch (ganz links) ein [mm]x^3[/mm] , da gilt: [mm]x*x^2 \ = \ x^3[/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 So 26.09.2010 | | Autor: | lilau |
Okay, am Ende kriege ich dann
x=1500
Aber wie testet man das Minimum? Ich würde es ja nachlesen, finde es aber nirgendwo.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 So 26.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Okay, am Ende kriege ich dann
> x=1500
>
> Aber wie testet man das Minimum? Ich würde es ja
> nachlesen, finde es aber nirgendwo.
Hallo,
der Ansatz f'(x)=0 liefert dir doch nur die Stellen mit waagerechten Tangenten.
Das KANN eine Minimumstelle sein, aber auch eine Maximumstelle oder sogar nur die Stelle eines horizontalen Wendepunkts.
Wenn an der bewussten Stelle f''(x)>0 gilt, hast du tatsächlich ein Minimum vorliegen.
Gruß Abakus
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