Extremwertaufgabe *seufz* < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Bina02 |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo ihr Lieben!
Ich bearbeite zur Zeit meine Hausaufgaben zum Thema Differentialrechnung und grübel nun an folgender Extremwertaufgabe:
In einen Rotationskegel vom Radius r und der Höhe h soll ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben werden.
Berechnen sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders und geben sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es ausmacht.
Zum Aufstellen der Nebenbedingung benutzen sie bitte einen der Strahlensätze.
- So, da habe ich ersteinmal Variabeln zur Formelaufstellung gewählt, sprich: r = Kegelradius, h= Kegelhöhe, x= Zylinderradius, z= Zylinderhöhe.
Dann habe ich die Formel für das Zylindervolumen aufgestellt:
F(x,z) = [mm] x^{2} *\pi [/mm] *z
Nebenbedingung: [mm] \bruch{h}{r} [/mm] = [mm] \bruch{z}{r-x} \Rightarrow
[/mm]
z = h* (1- [mm] \bruch{x}{r})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] F(x,z) = [mm] x^{2} *\pi* [/mm] h*(1- [mm] \bruch{x}{r} [/mm] )
- Tja und nun hänge ich etwas. Ich weiss dass ich das Maximum berechnen muss, wofür ich jedoch die Ableitung von F(x,z) benötige. Damit habe ich allerdings ein paar Probleme, da ich nicht weiß was mit h und pi geschehen muss. Danach kann ich ja dann die Nullstellen berechnen und das Extremum herausfinden.
Wie gesagt, bereitet mir bisher diese Ableitung die meisten Probleme.
Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen und mir auch allgemein erklären, was bei so einer Ableitung mit pi etc. geschieht.
Tausend Dank im voraus :)
Liebe Grüße, Sabrina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:19 Fr 04.03.2005 | | Autor: | moudi |
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo ihr Lieben!
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> Ich bearbeite zur Zeit meine Hausaufgaben zum Thema
> Differentialrechnung und grübel nun an folgender
> Extremwertaufgabe:
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> In einen Rotationskegel vom Radius r und der Höhe h soll
> ein Zylinder von größtmöglichem Volumen einbeschrieben
> werden.
> Berechnen sie auch das Volumen des entstehenden Zylinders
> und geben sie an, welchen Bruchteil des Kegelvolumens es
> ausmacht.
> Zum Aufstellen der Nebenbedingung benutzen sie bitte einen
> der Strahlensätze.
>
> - So, da habe ich ersteinmal Variabeln zur
> Formelaufstellung gewählt, sprich: r = Kegelradius, h=
> Kegelhöhe, x= Zylinderradius, z= Zylinderhöhe.
>
> Dann habe ich die Formel für das Zylindervolumen
> aufgestellt:
> F(x,z) = [mm]x^{2} *\pi[/mm] *z
>
> Nebenbedingung: [mm]\bruch{h}{r}[/mm] = [mm]\bruch{z}{r-x} \Rightarrow
[/mm]
>
> z = h* (1- [mm]\bruch{x}{r})
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] F(x,z) = [mm]x^{2} *\pi*[/mm] h*(1- [mm]\bruch{x}{r}[/mm] )
Hallo Bina02
Ich nehm mal an, dass deine Funktion stimmt, ich habe sie nicht nachgeprüft. Du hast ja die Variable z eliminiert, deshalb ist es nur noch eine Funktion von x.
[mm] $F(x)=x^2 \pi h(1-\bruch{x}{r} [/mm] )$.
Die Zahlen h und r muss man sich als fest vorgegebene Zahlen denken. D.h. sie sind beim Ableiten wie Zahlen z.B. [mm] $\pi=3.1415926...$ [/mm] zu behandeln. Nimm mal an, der Kegel hätte die Höhe $h=10$cm und $r=2$cm, dann würdest du [mm] $F(x)=x^2 \pi 10(1-\bruch{x}{2} [/mm] )$ bekommen und du hättest keine Schwierigkeiten beim Ableiten. Also ob [mm] $\pi$, [/mm] h oder r oder 5 spielt keine Rolle es sind nur Zahlen, während x eine andere Rolle spielt. Denn x wird im ganzen Prozess variiert.
Ich hoffe, ich habe mich verständlich ausgedrückt.
mfG Moudi
>
> - Tja und nun hänge ich etwas. Ich weiss dass ich das
> Maximum berechnen muss, wofür ich jedoch die Ableitung von
> F(x,z) benötige. Damit habe ich allerdings ein paar
> Probleme, da ich nicht weiß was mit h und pi geschehen
> muss. Danach kann ich ja dann die Nullstellen berechnen und
> das Extremum herausfinden.
> Wie gesagt, bereitet mir bisher diese Ableitung die
> meisten Probleme.
> Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen und mir auch
> allgemein erklären, was bei so einer Ableitung mit pi etc.
> geschieht.
> Tausend Dank im voraus :)
>
> Liebe Grüße, Sabrina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Fr 04.03.2005 | | Autor: | Bina02 |
Hallo noch einmal!
Erstmal vielen Dank für die Antwort,allerdings bin ich mir mit der Ableitung immer noch nicht ganz sicher.
Lautet sie dann [mm] x^{2}*\pi [/mm] *h ???
Lg Sabrina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Fr 04.03.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Sabrina
Ich würde die Funktion ausmultiplizierne:
[mm] $F(x)=\pi [/mm] h [mm] x^2-\frac{\pi h}{r}x^3$, [/mm] dann ist
[mm] $F'(x)=\pi [/mm] h 2x [mm] -\frac{\pi h}{r}3x^2$.
[/mm]
mfG Moudi
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