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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
| Aufgabe | | Von einer wertvollen Glas-Tischplatte mit den Abmessungen 64cm mal 144 cm ist eine Ecke abgestoßen. Die Bruchkante ist parabelförmig und kann durch die Gleichung y= [mm] -\bruch{1}{16} x^2 [/mm] +64 beschrieben werden. Aus dem Rest soll eine möglichst große rechteckige Glasplatte herausgeschnitten werden. Bestimmen Sie deren Abmessungen. |
Meine Frage wäre ob 112*64 oder eine andere Lösung richtig wäre. Ich habe zwei Ansätze
Bei der ersten habe ich die Nullstellen der Bruchkante ausgerechnet. Die Nullstellen waren 32 und -32. Ich habe die 32 gewählt und habe sie von der 144 abgezogen. 112 war die Lösung.
Bei der zweiten bin ich unicherer. Als Zielfunktion habe ich (144-x) * [mm] (\bruch{1}{16} x^2 [/mm] ) mit dem Definitionsbereich 0<x<144. Bei der Extrema habe ich dann 96 herausbekommen. Hier wusste ich dann nicht mehr weiter.
Danke
Ani
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:14 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
x sollte sogar zwischen 0 und der rechten Nullstelle der Parabel liegen, die du ausgerechnet hast. Also sollte 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 32 gelten.
Der Extremwert ist aber, wie du richtig berechnet hast, bei x=96. Da der aber nicht im Definitionsbereich liegt, bringt er dir nicht viel. (Wenn eine Seite (144-96)cm lang wär, wäre die andere Seite über 500cm lang...)
Also schaust du dir mal die xe an den Rändern deines Definitionsbereiches an.
Für x=0 wäre eine Seite 0cm lang... das kann's nicht sein.
Die einzige Möglichkeit wäre also für x=32. Damit ist die eine Seite also 32cm lang und die andere 64cm.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Also wären 32 * 64 die Seitenlängen und die Lösung für den größten Flächeninhalt 2048?
Und wären dann meine Maße 112 * 64 falsche bei 7168 Flächeninhalt wenn ja warum?
Danke
Ani
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Hallo,
schaue dir zunächst mal die Skizze an:
[Dateianhang nicht öffentlich]
die gesamte Glasplatte ist das Rechteck ADBC, die Parabel erkennst du, die zu schneidende Glasplatte ist das Rechteck GEFC, interessant ist der Punkt E, der liegt auf der Parabel, [mm] E(x_0; f(x_0)), [/mm]
Die Fläche eines Rechtecks ist A=a*b, die Breite a ist [mm] 64-x_0, [/mm] die Länge b ist [mm] 144-f(x_0), [/mm] versuche jetzt die Gleichung für die Fläche aufzustellen:
[mm] A(x_0)= [/mm] ...
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Hallo
Ist es (64-x)* 144 [mm] -(-\bruch{1}{16} x^2 [/mm] +64)
Danke
Ani
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Um [mm] 144-(-\bruch{1}{16}x²+64) [/mm] müsste noch eine Klammer, dann stimmts, wenn man nach der anderen Skizze geht.
Also [mm] A(x)=(64-x)*(144-(-\bruch{1}{16}x²+64))=...
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Hallo,
Sind dann die Maße 49.56 und 64?
Danke
Ani
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Leider nein, da du nicht angegeben hast, woher diese Zahlen stammen, folgende Hinweise:
1) alle Klammern auflösen und zusammenfassen,
2) 1. Ableitung bilden,
3) 1. Ableitung Null setzen,
4) es entsteht eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Nach dem ich ausgeklammert habe hatte ich die Lösung
[mm] -9x^3 +576x^2+9216x [/mm] +589824
f'(x)= [mm] -27x^2 [/mm] +1152x+9216=0
x=49,56 und x=-6.88
Habe ich was falsch gemacht
Danke
Ani
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Hallo,
deine Funktion stimmt schon nicht,
[mm] A(x)=(64-x)*(144-(-\bruch{1}{16}x^{2}+64))
[/mm]
[mm] A(x)=(64-x)*(144+\bruch{1}{16}x^{2}-64) [/mm] beachte: steht ein Minus vor der Klammer, kehren sich die Vorzeichen um
[mm] A(x)=(64-x)*(80+\bruch{1}{16}x^{2})
[/mm]
[mm] A(x)=5120+4x^{2}-80x-\bruch{1}{16}x^{3}
[/mm]
[mm] A(x)=-\bruch{1}{16}x^{3}+4x^{2}-80x+5120
[/mm]
jetzt bist du dran,
A´(x)= ....
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Hi,
sind die Maße ca. 51 und 61
Danke
Ani
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Nein, ich glaube nicht... was hast du denn für ein x rausbekommen?
Ich habe für x 2 Extremwerte rausbekommen.
x=16 und [mm] x=\bruch{80}{3}. [/mm] Wobei du nun noch gucken musst, was davon das gesuchte Maximum mit sich bringt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Mi 10.10.2007 | | Autor: | ani |
Hi.
Ich komme nicht auf deinen x-werte aber wenn ich nach ihnen gehe ist der gesuchte x Wert [mm] \bruch{80}{3}. [/mm] Also wären die Maße [mm] \bruch{80}{3} [/mm] und
[mm] \bruch{1015}{9} [/mm] oder??
Danke
Ani
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Ja fast. Sollte glaube [mm] \bruch{1120}{9} [/mm] sein! Das hast recht, bei [mm] x=\bruch{80}{3} [/mm] ist das Maximum.
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zu dem Ergebnis x=80/3: an der stelle 80/3 bzw. 26,66667 liegt zwar ein Hochpunkt vor, aber am Rand der Definitionsmenge weist die Funktion den größtmöglichen Wert von 5120 auf.
D.h. man erhält die größtmögliche Platte wenn man genau über dem Scheitelpunkt der Parabel schneidet. Die Platte hat dann die Maße 80mal64cm und ist somit [mm] 5120cm^2 [/mm] groß.
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