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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 So 28.06.2009 | | Autor: | cracker |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
f (x, y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2.
[/mm]
Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert von f auf dem Definitionsbereich
[mm] 3x^2 [/mm] + 4xy + [mm] 6y^2 [/mm] = 140. |
hallo
ich weiß hier nich recht wie ich ansetzten soll..
hat das was mit der lagrange-funktion zu tun? wir haben dazu nicht viel aufgeschrieben..
danke im vorraus
EDIT:
also ich denke nun dass es mit der lagrange.funktion zu lösen ist...
nun bin ich soweit dass ich das gleiungssystem lösen muss, komme aber nicht weiter, kann mir da jemand helfen?
das GLS lautet:
2x + $ [mm] \lambda\cdot{}(6x [/mm] $ + 4y) = 0
2y + $ [mm] \lambda\cdot{}(12y [/mm] $ + 4x) = 0
$ [mm] 3x^2 [/mm] $ +4xy + $ [mm] 6y^2 [/mm] $ - 140 = 0
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> Gegeben ist die Funktion
> f (x, y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2.[/mm]
> Bestimmen Sie den maximalen und minimalen Wert von f auf
> dem Definitionsbereich
> [mm]3x^2[/mm] + 4xy + [mm]6y^2[/mm] = 140.
> hallo
>
> ich weiß hier nich recht wie ich ansetzten soll..
> hat das was mit der lagrange-funktion zu tun? wir haben
> dazu nicht viel aufgeschrieben..
> danke im vorraus
>
> EDIT:
> also ich denke nun dass es mit der lagrange.funktion zu
> lösen ist...
> nun bin ich soweit dass ich das gleiungssystem lösen muss,
> komme aber nicht weiter, kann mir da jemand helfen?
> das GLS lautet:
>
> 2x + [mm]\lambda\cdot{}(6x[/mm] + 4y) = 0
> 2y + [mm]\lambda\cdot{}(12y[/mm] + 4x) = 0
> [mm]3x^2[/mm] +4xy + [mm]6y^2[/mm] - 140 = 0
Hallo,
oft ist es günstig, wenn man erstmal nach [mm] \lambda [/mm] auflöst, damit man diese Variable möglichst schnell los ist.
Aus der Gleichung1 folgt:
A. Es ist [mm] \lambda=\bruch{-2x}{6x+4y} [/mm] für [mm] 6x+4y\not=0.
[/mm]
B. Für 6x+4y=0 erhält am 2x=0.
Diese beiden Fälle sind nun weiterzuverfolgen.
Du wirst sehen, daß B. zu einem Widerspruch führt.
Bei Fall A ersetzt Du nun in der 2. Gleichung das [mm] \lambda [/mm] und machst dann weiter.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 So 28.06.2009 | | Autor: | cracker |
warum ist 2x = 0?
kann ich nicht einfach für den fall 6x + 4y = 0 einfach [mm] \lambda [/mm] = 0 in die 2. gleichung einsetzen?
danke für die antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 So 28.06.2009 | | Autor: | cracker |
okay, das mit den 2x hab ich jetzt verstanden denk ich..
aber ich habe nun das GLS versucht zu lösen un dich denk nicht dass das stimmt:(
für 6x + 4y [mm] \not= [/mm] 0 habe ich /lambda in die 2. gl. eingesetzt und bekomme die gleichung 2* :
[mm] 8x^2 [/mm] + 36xy + [mm] 8y^2 [/mm] = 0
in diese gleichung setzte ich die 3. gl nach xy= 140 [mm] -3x^2 [/mm] - [mm] 6y^2 [/mm] aufgelöst ein
und komme dann auf ein ziemlich schräges ergebins:
[mm] x^2=\bruch{1260}{19} [/mm] - [mm] \bruch{46}{19} y^2
[/mm]
da komme ich irgendwie nicht so recht weiter...
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> okay, das mit den 2x hab ich jetzt verstanden denk ich..
> aber ich habe nun das GLS versucht zu lösen un dich denk
> nicht dass das stimmt:(
> für 6x + 4y [mm]\not=[/mm] 0 habe ich /lambda in die 2. gl.
> eingesetzt und bekomme die gleichung 2* :
> [mm]8x^2[/mm] + 36xy + [mm]8y^2[/mm] = 0
Hallo,
wenn ich das einsetze, bekomme ich was völlig anderes.
Das Vorzeichen von [mm] \lambda [/mm] hast Du beachtet?EDIT: Bestimmen sie ein LGS, das die Ebene [s.o.] als Lösungsmenge hatngela
Wenn Du wieder dasselbe rausbekommst, rechne vor, was Du tust.
Gruß v. Angela
> in diese gleichung setzte ich die 3. gl nach xy= 140 [mm]-3x^2[/mm]
> - [mm]6y^2[/mm] aufgelöst ein
> und komme dann auf ein ziemlich schräges ergebins:
>
> [mm]x^2=\bruch{1260}{19}[/mm] - [mm]\bruch{46}{19} y^2[/mm]
>
> da komme ich irgendwie nicht so recht weiter...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 28.06.2009 | | Autor: | cracker |
das vorzeichen von [mm] \lambda [/mm] ist doch positiv???
also ich habe das so gerechnet:
[mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{2x}{6x + 4y}
[/mm]
in II: 2y + [mm] \lambda*(12y [/mm] + 4x) = 2y + [mm] \bruch{2x}{6x + 4y}*(12y [/mm] + 4x)
dann erweitere ich damit ich 2y mit auf den bruch schreiben kann:
[mm] \bruch{12xy + 8y^2 + 24xy + 8x^2}{6x + 4y} [/mm] = 0
das ganze mal 6x + 4y ergibt : [mm] 8y^2 [/mm] + 36xy + [mm] 8x^2
[/mm]
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> das vorzeichen von [mm]\lambda[/mm] ist doch positiv???
Hallo,
nein.
Hast Du die 1. Gleichung mal aufgelöst nach [mm] \lambda?
[/mm]
> also ich habe das so gerechnet:
>
> [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{2x}{6x + 4y}[/mm]
Wenn Du mit 2 kürzt, werden die Rechnungen bequemer.
Die 2. Gleichung kannst Du auch gleich mal mit 2 durchdividieren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 So 28.06.2009 | | Autor: | cracker |
Oh:)
das hab ich übersehen ja...
nunja, dann komme ich auf
[mm] 4y^2 [/mm] - 6xy - [mm] 4x^2 [/mm] = 0 für II*
ich löse die 3. gl nach xy auf (III*) und setze sie in II* ein.
damit komme ich auf
x = [mm] \wurzel{210 - 13y^2}
[/mm]
ich setze nun dieses x in III* ein und bekomme nach x wieder aufgelöst
x = 8,25y - 122,5
jetzt könnte ich ja beide gleichsezten, aber das sind echt blöde werte, stimmt das überhaupt soweit?
danke^!
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> Oh:)
> das hab ich übersehen ja...
> nunja, dann komme ich auf
> [mm]4y^2[/mm] - 6xy - [mm]4x^2[/mm] = 0 für II*
> ich löse die 3. gl nach xy auf (III*) und setze sie in II*
> ein.
Hallo,
diese Rechenstories mögen für Dich sehr bequem sein, wenn Du jedoch etwas nachgerechnet haben möchtest, schreibe Deine Rechnungen in Zukunft bitte mit Erläuterungen auf.
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> damit komme ich auf
> x = [mm]\wurzel{210 - 13y^2}[/mm]
Ich bekomme etwas anderes - ob's zu bequemeren Ergebnissen führt, habe ich nicht geprüft.
Gruß'v. Angela
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