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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle lokalen und globalen Extremstellen der folgenden Funktion.
[mm]f(s,t)=s^{2}+st+-t^2-s+2t[/mm] |
Hallo,
Ich bin hier mal so vorgegangen:
part. Abl.:
[mm]f_{s}(s,t)=2s+t-1[/mm]
[mm]f_{s}(s,t)=s-2t+2[/mm]
[mm]f_{ss}(s,t)=2[/mm]
[mm]f_{st}(s,t)=1[/mm]
[mm]f_{ts}(s,t)=1[/mm]
[mm]f_{tt}(s,t)=-2[/mm]
(1) Notwendige Bedingung
[mm]\nabla f=0[/mm]
darüber bin ich auf den Kandidaten s=0 t=1 als Extremstelle (bzw. stationäre Stelle) gekommen
(2) Hinreichende Bedingung
So und hier kommt jetzt mein Problem!
Es gibt hier ja quasi zwei Wege:
einmal ergibt sich ja aus der Formel (Tietze S.345) [mm]f_{xx}(P)f_{yy}(P)<(f{xy}(P))^{2}[/mm]
also [mm]2*(-2)<1[/mm] ein Sattelpunkt bei P(0;1)
in der Vorlesung wurde uns auch beigebracht den Extrempunkt über eine Hessematrix zu prüfen:
also [mm]H=\pmat{ 2 & 1 \\ 1 & -2 }[/mm]
wenn ich jetzt die Eigenwerte dieser Matrix ausrechne komme ich auf [mm]\lambda_{1}=3[/mm]und [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
also ist die Matrix positiv definit was auf ein lokales Minimum hindeutet. *verwirrt*
des weiteren wurde in der VL teilweise direkt die detminante ausgerechnet und davon auf die definitheit der matrix geschlossen...bei wiki steht aber folgendes:
positiv definit, falls alle Eigenwerte größer als Null sind;
positiv semidefinit, falls alle Eigenwerte größer oder gleich Null sind;
negativ definit, falls alle Eigenwerte kleiner als Null sind;
negativ semidefinit, falls alle Eigenwerte kleiner oder gleich Null sind und
indefinit, falls positive und negative Eigenwerte existieren.
wenn ich die determinate direkt berechne komme ich auf det H = -5 < 0 indefinit...oder?
Plot:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke Markus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Markus,
du hast alles richtig berechnet, es ist nur ein klitzekleiner Schreibfehler
bei der partiellen Ableitung nach f, das ist [mm] f_{t}
[/mm]
Ich weiß, ich weiß, kleinkariert 
Nun zu deiner Frage:
Die Hessematrix in P=(0,1) stimmt.
Wie prüft man ihre Definitheit?
Stichwort Eigenwerte berechnen ist gut, da komme ich aber [mm] \lambda=\pm\sqrt{5} [/mm] raus, also ist die Hessematrix indefinit und es gibt nen Sattelpkt.
Anderes Kriterium ist das mit den Hauptminoren, du darfst [mm] \underline{\text{nicht nur}} [/mm] die Determinante der ganzen Matrix berechnen, sondern die Determinanten aller quadratischen Untermatrizen (Hauptminoren).
Das ist hier nur die Matrix [mm] M_1=(a_{11})=2 \Rightarrow det(M_1)=2>0
[/mm]
und [mm] M_2=H_f(0,1)\Rightarrow det(M_2)=-5<0
[/mm]
Also wieder indefinit...
Darf ich fragen, womit du die Fkt geplottet hast? Das sieht ja scharf aus
LG
schachuzipus
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hehe danke für die antwort....muss ich mir nochmal kurz durch den kopf gehen lassen...
das prog ist eigentlich ein mathe alleskönner genannt MAPLE 11 ;)
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Hallo nochmal,
es gibt im [mm] \IR^2 [/mm] noch ein "schnelles" Kriterium für die Definitheitsüberprüfung
einer symmetrischen [mm] $2\times [/mm] 2$ Matrix [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & c }
[/mm]
(1) [mm] $a>0\wedge det(A)>0\Rightarrow [/mm] A$ positiv definit
(2) [mm] $a<0\wedge det(A)>0\Rightarrow [/mm] A$ negativ definit
(3) [mm] $det(A)<0\Rightarrow [/mm] A$ indefinit
Von daher war die Berechnung der [mm] det(H_f) [/mm] schon sinnvoll.
Die war ja -5, also [mm] H_f [/mm] indefinit, also Sattelpunkt
Gruß
schachuzipus
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ah dann macht die VL auch Sinn.
nen kleines Problem hab ich dann noch...und zwar damit (Ich poste es gleich mal hier mit rein, da es sich um ein problem ähnl. art handelt):
[mm]f(x,y)=sin(xy)[/mm]
Part. Abl.
[mm]f_{x}(x,y)=cos(xy)y[/mm]
[mm]f_{y}(x,y)=cos(xy)x[/mm]
[mm]f_{xx}(x,y)=-sin(xy)y^{2}[/mm]
[mm]f_{yy}(x,y)=-sin(xy)x^{2}[/mm]
[mm]f_{xy}(xy)=-sin(xy)xy[/mm]
Als stationäre Stelle würde ich jetzt P(0;0) nehmen. ...oder gibts noch was anderes?
und jetzt komme ich nach der Formel:
[mm]f_{xx}f_{yy}=(f_{xy})^{2}[/mm] auf [mm]0=0[/mm].
mein schlaues buch (Tietze) sagt mir jetzt das P extremal sein kann oder nicht O.o ...und nu?
Hier der Plot sieht auch schon ein bissl chaotisch aus.. wie soll ich den da ein lokales oder globales extrema berechnen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
wie berechne ich den globale extrema bei funktionen dieser art überhaupt?
mfg markus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hi nochmal,
> ah dann macht die VL auch Sinn.
das sollte sie
> nen kleines Problem hab ich dann noch...und zwar damit (Ich
> poste es gleich mal hier mit rein, da es sich um ein
> problem ähnl. art handelt):
>
> [mm]f(x,y)=sin(xy)[/mm]
>
> Part. Abl.
>
> [mm]f_{x}(x,y)=cos(xy)y[/mm]
> [mm]f_{y}(x,y)=cos(xy)x[/mm]
> [mm]f_{xx}(x,y)=-sin(xy)y^{2}[/mm]
> [mm]f_{yy}(x,y)=-sin(xy)x^{2}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> [mm]f_{xy}(xy)=-sin(xy)xy[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
das geht doch hier mit der Produktregel:
[mm] f_{xy}(x,y)=\cos(xy)-xy\sin(xy)=f_{yx}(x,y)
[/mm]
>
> Als stationäre Stelle würde ich jetzt P(0;0) nehmen.
> ...oder gibts noch was anderes?
Wenn [mm] \cos(xy)=0 [/mm] ist, dann ist ja [mm] f_x(x,y)=f_y(x,a)=0 [/mm] auch erfüllt, aber da bin
ich nicht sicher mit den stat. Punkten: [mm] xy=(2k+1)\cdot{}\frac{\pi}{2} [/mm] oder so?
>
> und jetzt komme ich nach der Formel:
>
> [mm]f_{xx}f_{yy}=(f_{xy})^{2}[/mm] auf [mm]0=0[/mm].
>
> mein schlaues buch (Tietze) sagt mir jetzt das P extremal
> sein kann oder nicht O.o ...und nu?
>
> Hier der Plot sieht auch schon ein bissl chaotisch aus..
> wie soll ich den da ein lokales oder globales extrema
> berechnen?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> wie berechne ich den globale extrema bei funktionen dieser
> art überhaupt?
Stelle doch wieder die Hessematrix [mm] H_f(0,0) [/mm] auf, das ist, wenn ich mich nicht irre:
[mm] H_f(0,0)=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Die hat die Eigenwerte [mm] \lambda=\pm [/mm] 1, ist also indefinit, also gibt's bei (0,0) nen Sattelpunkt
LG
schachuzipus
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Moin,
habs jetzt nochmal mit klarem kopf durch gerechnet
mit der ableitung hattest du recht
die hessematrix stimmt auch
und mit dem sattelpunkt gehe ich auch konform. (stimmt jetzt sowohl nach Tietze als auch Hesse)
aber eine frage hast du mir unterschlagen: =)
wie berechne ich bei solchen Funktionen die globalen Extrema?
und dann gleich noch ne allg. Frage dazu:
wie sehe ich den wieviele Lösungen das Gleichungssystem hat wenn ich [mm]\nabla f = 0 [/mm] setze? ich hab immer angst mögliche Kandidaten zu vergessen.
mfg markus
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>
> wie berechne ich bei solchen Funktionen die globalen
> Extrema?
Hallo,
bei der Dir vorliegenden Funktion gibt es ja keinen Rand, Du untersuchst sie auf ganz [mm] \IR^2.
[/mm]
Hier findest Du die globalen Maxima, indem Du unter den von Dir bestimmten lokalen nachschaust, welches den größten Wert hat.
Beim globalen Minimum analog.
> wie sehe ich den wieviele Lösungen das Gleichungssystem hat
> wenn ich [mm]\nabla f = 0[/mm] setze? ich hab immer angst mögliche
> Kandidaten zu vergessen.
Auf einen Blick sehen tut man das nur selten.
Gegen die Angst hilft nur gründliches Vorgehen. Sich bei "offensichtlichen" Schlüssen zu fragen, ob man wirklich die ganze Wahrheit gefunden hat.
Ein typischre Fehler, den man leicht macht, ist z.B. bei y(x-3)=x-3 zu sagen: daraus folgt y=1. Das ist aber nur die halbe Wahrheit: daraus folgt nämlich y=1 oder x=3.
Und bei bei trigonometrischen Funktionen muß man deren Periodizität und Symmetrie mitbeachten.
Gruß v. Angela
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