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| Aufgabe | Eine Gerade geht durch die Punkte S1(4|0) und S2(0|2/1/3).
Für welchen Punkt P der Geraden G hat das Rechteck OAPB den größten Flächeninhalt?
Berechne diesen Extremwert.
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Neben der Aufgabe ist eine Abbildung wo das Rechteck OAPB gebildet wird!
Es liegt in der Ecke des Koordinatensystems im positiven Bereich. Den einen Eckpunkt P schneidet eine Gerade dessen Steigung negativ ist. |
Hay Leute,
also zur Aufgabe:
Man muss doch erst die Formel für dn Flächeninhalt A aufstellen also :
x*y=A
Dabei ist x und y ein Punkt auf der Geraden
Dann hab ich die Geradengleichung ausgerechnet also Steigung und danach y-Achsenabschnitt berechnet und dafür am Ende:
y=-7/12*x+2/1/3
raus !
Stimmt das erstmal soweit?
Was muss man dann machen ?
das y bei der Flächenformel ersetzen durch die Geradengleichung oder ?
dann bekommt man eine quadratische Funktion heraus und bestimmt die
Nullstellen die bei mir dann ...
0 und 4
...sind.
Um das x herauszubekommen, dass für den größten Wert von A also den gröten Flächeninhalt ermöglicht muss man jetz den x-Wert des Scheitelpunktes nehmen oder ?
das wäre dann x=2
Jetzt muss man den x wert in die Formel der geradengleichung einsetzen um den dazupassenden y-Wert zu bekommen richtig ???
bei mir kommt dann für y
y=7/6
raus ! Stimmt das ?
und dann der letzte Schritt -> die fläche ausrechnen x*y rechnen
dann ist A=7/3
ist die rechnung richtig ? also mir kommt da irgentwas komisch vor weil der Wert der Fläche auch so krumm ist ...
Es wäre echt nett wenn ihr mir dass mal schnell kontrollieren könntet!
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habs mal eben durchgerechnet!
Also Flächenformel lautet
[mm] A=x(-\bruch{7}{12}x+\bruch{7}{3})
[/mm]
dann ausmultiplizieren und ableitung bilden --> 0 setzen
x=2 --> in 2. Ableitung gucken obs HP oder TP und dann in Flächenformel rein und du bekommst einen hübschen Wert für [mm] A_{max} [/mm] von [mm] \bruch{7}{3}FE
[/mm]
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hm ist meine rechnung jetz richtig oder nicht ?
Was ist denn FE
sorry aber ich versteh das gerade nicht 
wird der y wert einfach so ausgerechnet wie ich es gemacht habe ? also den ausgerechneten x wert in die Geradengleichung ...?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mo 17.11.2008 | | Autor: | marvin8xxl |
Also ist die Fläche A wirklich gleich 7/3 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:35 Mi 19.11.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, gilt für das Rechteck:
A=x*y
Aus P(4/0) und [mm] Q(0/\bruch{7}{3}) [/mm] ergibt sich eine Gerade mit y=mx+n
Also: [mm] \vmat{m*0+n=\bruch{7}{3}\\m*4+n=0}
[/mm]
Das ergibt [mm] n=\bruch{7}{3} [/mm] und [mm] m=-\bruch{7}{12}
[/mm]
Damit gilt für die Gerade:
[mm] y=-\bruch{7}{12}x+\bruch{7}{3}
[/mm]
Also gilt für die Fläche:
[mm] A=x*\left(-\bruch{7}{12}x+\bruch{7}{3}\right)
[/mm]
[mm] =-\bruch{7}{12}x²+\bruch{7}{3}x
[/mm]
Und von dieser Parabel suchst du den Hochpunkt (Scheitelpunkt ist Hochpunkt, da die Parabel nach unten geöffnet ist.)
Ach ja: Da die Fläche gesucht wird, hat das Ergebnis die "Einheit" Flächeneinheit, abgekürzt FE. (Das macht man immer dann, wenn keine "Realen Einheiten" (Meter, Millimeter etc.) gegeben sind)
FE=Flächeneinheit
LE=Längeneinheit
VE=Volumeheinheit
Deine Rechung ist aber korrekt, der Scheitel der Parabel liegt bei [mm] S(\red{2}/\green{\bruch{7}{3}}).
[/mm]
Die y-Seite ist [mm] y=-\bruch{7}{12}*2+\bruch{7}{3}=\blue{\bruch{7}{6}}
[/mm]
Somit hat das maximale Rechteck die Seitenlängen [mm] x=\red{2}, y=\blue{\bruch{7}{6}} [/mm] und den Flächeninhalt [mm] A=\green{\bruch{7}{3}}
[/mm]
Marius
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