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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | Sei [mm] f:(0,\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x) = [mm] x^{-a}e^{x}, a\in \IR [/mm]
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und berechnen Sie die Extremwerte. |
Ok habe die erste Ableitung bestimmt : f'(x) = [mm] e^{x}*x^{-a-1}*(x-a)
[/mm]
f'(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x = a.
Nun habe ich die Vermutung das es sich hier um einen Tiefpunkt handelt, denn wenn ich für a = 2 setzte und für x = 1, dann erhalte ich -e. Wenn ich hingegen a = 2 und x = 3 nehme, erhalte ich [mm] e^{3}*27^{-1}. [/mm] Was positiv ist. Ich hätte Mal allgemein eine Frage. Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor? Ist dies der richtige Weg? Ich versuche mir zunächst grob vorzustellen wie der Graph aussieht und versucht dann zu überlegen wie ich es zeige.
Was mich an der Aufgabe auch verwirrt ist, das ich wenn ich z.B a = 0 wähle, die expotentialfunktion habe. d.h es gibt gar keinen extrempunkt. Hm wie gehe ich an solch eine Aufgabe am besten ran?
LG Loriot95
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> Sei [mm]f:(0,\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x) = [mm]x^{-a}e^{x}, a\in \IR[/mm]
> Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion und
> berechnen Sie die Extremwerte.
> Ok habe die erste Ableitung bestimmt : f'(x) =
> [mm]e^{x}*x^{-a-1}*(x-a)[/mm]
> f'(x) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] x = a.
Habe noch einen Fehler drin: Der Graph wird natürlich auch für große a-Werte wie 10 NICHT gegen die x-Achse laufen!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") rein rechnerisch wäre dies auch bei x=0 der Fall, allerdings ist dieser Fall für positive a-Werte nicht definiert, da wir dann durch 0 teilen würden. Sobald aber a negativ wird, wäre auch x=0 eine Lösung! (Gott ist das eine schöne Funktion....also sieht toll aus mit -3 ;) )
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> Nun habe ich die Vermutung das es sich hier um einen
> Tiefpunkt handelt, denn wenn ich für a = 2 setzte und für
> x = 1, dann erhalte ich -e. Wenn ich hingegen a = 2 und x =
> 3 nehme, erhalte ich [mm]e^{3}*27^{-1}.[/mm] Was positiv ist.
Völlig richtig mit dem VZ-Kriterium gelöst, gute Lösung, man trifft ja fast immer nur auf die zweite Ableitung, die hier natürlich auch Klarheit geschaffen hätte, aber wesentlich umständlicher zu bestimmen gewesen wäre.
> Ich
> hätte Mal allgemein eine Frage. Wie gehe ich bei solchen
> Aufgaben vor? Ist dies der richtige Weg? Ich versuche mir
> zunächst grob vorzustellen wie der Graph aussieht und
> versucht dann zu überlegen wie ich es zeige.
Prinzipiell ein sehr gutes Vorgehen. Am Anfang sollte man natürlich immer leicht bestimmbare Punkte wählen, also als Anhaltspunkt immer die SChnittpunkte der Koordinatenachsen, also Nullstellen und f(0). f(0) ist aber für positive a-Werte nicht möglich. Da hätten wir dann schon das zweite sehr wichtige Kriterium: Mögliche Def.-Lücken, Asymptoten oder allgm. das Verhalten im [mm] \infty. [/mm] Da dein Def-Bereich voreingeschränkt ist auf [mm] (0;\infty] [/mm] (und ich nehme nicht an, dass du mit Absicht runde Klammern genommen hast, sonst wäre die 0, aber auch [mm] \infty, [/mm] nicht im Def-Bereich enthalten, oder?). Für 0 kannst du einfach besonders kleine Werte nahe 0 einsetzen oder logisch überlegen: e hoch eine sehr kleine Zahl bedeutet einen Wert um 1. x hoch eine sehr kleine negative Zahl bedeutet 1 geteilt durch eine sehr kleine Zahl. Damit steigt x immer stärker an, je näher es gegen 0 geht, also muss gelten:
[mm] \limes_{x \rightarrow 0}f(x)=+\infty
[/mm]
Die Überlegung für x gegen [mm] \infty [/mm] geht viel schneller: x wird verschwindend gering, da 1 geteilt durch eine sehr große Zahl gegen 0 geht, während [mm] e^x [/mm] immer stärker ansteigt, und zwar schneller als jede Potenzfunktion, also auch hier der uneigentliche GRenzwert [mm] +\infty. [/mm]
Das alleine würde für eine erste Überlegung und Skizze vermutlich reichen, aber Extremstellen haben den unschlagbaren Vorteil, dass sie rel. schnell zu bestimmen sind und die FUnktion nahezu todsicher im Zusammenhang mit dem Rest beschreiben. Dank des TP ist nämlich alles klar: Die Funktion kommt bei 0 von [mm] +\infty [/mm] und fällt bis zum TP bei a, ehe sie langsam wieder gegen [mm] +\infty [/mm] strebt.
> Was mich an der Aufgabe auch verwirrt ist, das ich wenn ich
> z.B a = 0 wähle, die expotentialfunktion habe. d.h es gibt
> gar keinen extrempunkt. Hm wie gehe ich an solch eine
> Aufgabe am besten ran?
>
> LG Loriot95
Am besten bei sowas immer 3 FÄlle plotten/skizzieren: Einen Fall für einen negativen Parameter, einen Fall für einen Parameter mit a=1 oder 0, je nach Fall und einen Fall mit positivem Parameter. Damit deckst du alle Fälle ab und weißt sehr genau, wie sich die Funktion verändert. Der GRaph wird sich nämlich prinzipiell durch größere a-Werte nicht mehr grundlegend ändern, der TP wandert weiter nach rechts und der Anstieg wird sehr sehr flach mit der Zeit, aber die Grundcharakteristika bleiben erhalten.
Aber abgesehen davon, du hast ja einen ganz konkreten Auftrag, das alles gilt nur, wenn du eine allg. Kurvendiskussion durchführst oder dich einer unbekannten Funktion annähern willst.
In der Tat hast du sonst wenig Chancen, vorherzusagen, wie a die Funktion beeinflusst. Durch die Besonderheit mit negativen a-Werten ändert sich die Funktion z.B. komplett für a=-1 im Gegensatz zu a=1. Das kannst du eben nur durch sorgfältige Fallunterscheidung herausbekommen. Also genau den Def-Bereich beachten. Da er hier eingeschränkt ist, fällt das nicht so auf, wäre er aber von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \infty, [/mm] so hättest du für a=-1 und a=1 komplett unterschiedliche Kurven! Das kannst du aber nicht pauschal "sehen", das musst du dir auf deinem Weg genau richtig erarbeiten.
Nachtrag: Die Funtkion ist der Hammer ;) Deshalb hat man dir gesagt, nur von 0 bis Unendlich! Die Funktion ändert sich fundamental sogar für -1 und -2, am Anfang ist sie zudem asymptotisch zur x-Achse, danach läuft sie gegen [mm] +\infty. [/mm] Was natürlich damit zu tun hat, das bei geraden Exponenten wie a=-2 die Werte für negative x-Werte zu positiven Werten usw. Also ein spannendes Beispiel. Im 1. Quadranten ändert sich allerdings nicht so viel wie im 2. Dort gilt nur, was ich dir schon sagte.
Nachtrag 2: Die Ortskurve des TPs wäre [mm] y=x^{-x}*e^x [/mm] und zeigt sehr schön, dass der TP auf die x-Achse wandert. Das alleine hilft zwar noch nicht bei der Grenzwertbetrachtung, aber die Ortskurve ist immer ein sehr hilfreiches Instrument.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Di 01.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist $f'(x) = [mm] e^{x}\cdot{}x^{-a-1}\cdot{}(x-a) [/mm] $
Beachte: laut Aufgabenstellung ist f nur auf (0, [mm] \infty) [/mm] definiert.
Fall 1: a [mm] \le [/mm] 0. Dann siehst Du: f'(x)>0 auf (0, [mm] \infty). [/mm] Damit ist f auf (0, [mm] \infty) [/mm] streng monoton wachsend.
Fall 2: a>0.
Dann bekommst Du:
(1) f'(x) <0 für x [mm] \in [/mm] (0,a)
(2) f'(x)<0 für x [mm] \in [/mm] (a, [mm] \infty)
[/mm]
und
(3) f'(a)=0
Aus (1),(2) und (3) folgt:
f ist auf (0,a) streng fallend, f ist auf (a, [mm] \infty) [/mm] streng wachsend und f hat in x=a sein globales Minimum.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Di 01.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen lieben Dank an euch beiden. Danke für eure Mühe.
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