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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 29.01.2011 | | Autor: | raida |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{3x^3 +3x-6}{x} [/mm] |
Hallo,
bei der oben gegebenen Fkt. ergibt sich nach Untersuchung auf Extremwerte bei der notwendigen Bedingung, f'(x) = 0 --> [mm] x^{3} [/mm] = -1.
In meinem Lösungsbuch ist angegeben, dass ein Extremwert bei x =-1 vorliegt. Wieso darf man das sagen, da x = [mm] \wurzel[3]{-1} [/mm] in R nicht definiert.
Bei den Wendepunkten erhält man für f''(x) = 0 --> [mm] x^{3} [/mm] = 2.
Hier wird nun die Wurzel gezogen und ein WP bei x = [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] angegeben.
Müsste bei den Extremwerten nicht auch die Wurzel gezogen werden, was nicht möglich ist und somit existiert kein Extremwert?
Vielen Dank.
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> f(x) = [mm]\bruch{3x^3 +3x-6}{x}[/mm]
> Hallo,
> bei der oben gegebenen Fkt. ergibt sich nach Untersuchung
> auf Extremwerte bei der notwendigen Bedingung, f'(x) = 0
> --> [mm]x^{3}[/mm] = -1.
> In meinem Lösungsbuch ist angegeben, dass ein Extremwert
> bei x =-1 vorliegt. Wieso darf man das sagen, da x =
> [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] in R nicht definiert.
>
> Bei den Wendepunkten erhält man für f''(x) = 0 --> [mm]x^{3}[/mm]
> = 2.
> Hier wird nun die Wurzel gezogen und ein WP bei x =
> [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] angegeben.
>
> Müsste bei den Extremwerten nicht auch die Wurzel gezogen
> werden, was nicht möglich ist und somit existiert kein
> Extremwert?
>
> Vielen Dank.
Hallo raida,
x = [mm]\wurzel[3]{-1}[/mm] ist in R definiert, denn [mm] (-1)^{3}=-1.
[/mm]
Du musst unterscheiden zwischen der zweiten Wurzel (der üblichen Quadratwurzel) und der dritten Wurzel. Unter der zweiten Wurzel dürfen keine negativen Werte auftauchen, da die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl in R nicht definiert ist, denn [mm] x^{2} \ge [/mm] 0 gilt für alle x. Aber für [mm] x^{3} [/mm] gibt es für x<0 eben auch negative Ergebnisse, da "Minus mal Minus mal Minus" wieder Minus ergibt und somit existiert in R die dritte Wurzel aus negativen Zahlen.
Du hast also Recht, dass beim Extremwert auch die Wurzel gezogen werden muss, aber eben die dritte, und die existiert in R eben auch für negative Argumente!
MfG,
MaTEEler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:40 Sa 29.01.2011 | | Autor: | raida |
Hallo MaTEEler,
jetzt ist es mir klar, wieder was gelernt;)
Danke für deine super Erklärung!
Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo MaTEEler,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Du musst hier unterscheiden ... die Wurzel (egal welcher Art) ist immer als nicht-negativer Wert definiert, der n-mal mit sich multipliziert (hier n=3), den Ausgangswert ergibt.
Damit ist [mm]\wurzel[3]{-1} \ = \ -1[/mm] falsch, da es der Definition widerspricht.
Im Gegensatz dazu hat die Gleichung [mm]x^3 \ = \ -1[/mm] selbstverständlich genau eine reelle Lösung mit [mm]x \ = \ -1[/mm] .
Rein formell erhält man diese Lösung mit:
[mm]x^3 \ = \ -1[/mm]
[mm]0 \ = \ x^3+1 \ = \ (x+1)*\left(x^2-x+1\right)[/mm]
[mm]x+1 \ = \ 0 \ \ \ \ \text{ oder } \ \ \ \ x^2-x+1 \ = \ 0[/mm]
Gruß
Loddar
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