Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 06.09.2007 | | Autor: | JuliaKa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die relativen Extremwerte der folgenen Funtion:
[mm] (x^2 [/mm] + [mm] y^2)*e^{-x} [/mm] |
Hallooo!
AAAlso, ich weiß wie man diese Aufgabe rechnet, nur es geht nicht  Habe auch das tolle Buch vom Papula hier liegen aber das Beispiel mit den Extremwerten ist ausnahmsweise mal echt doof.
Zuerst muss ich die partiellen Ableitungen bilden und da fängt das Problem schon an.
wenn ich e^(-x) nach y ableite, ist das dann 0?
jedenfalls hab ich das so angenommen und folgendes bei heraus bekommen:
Zx= [mm] -2x(x^2+y^2)*e^{-x} [/mm]
Zy= 2y*e^(-x)
Zxx= [mm] -8x^2(x^2+y^2)*e^{-x}
[/mm]
Zyy= 2*e^(-x)
Zxy= 0
angenommen das ist richtig, muss man ja Zx und Zy gleich 0 setzen.
Zx löst man nach y auf und das müsste [mm] \wurzel{x^3} [/mm] sein.
das setzt man dann in Zy ein und bekommt heraus:
[mm] 2\wurzel{x^3}*e^{-x}=0 [/mm] das würde ich ansich ganz gerne quadrieren aber darf ich ja nicht weil links eine Null steht.
Meine Frage ist: Was habe ich falsch gemacht?
Könntet ihr mir bitte aus meinem Schlamassel helfen?
Vielen lieben Dank schonmal!
Grüße, Julia
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum oder auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo Julia,
du möchtest erstmal nur die Extremwerte einer rellwertigen Funktion mehrerer Veränderlicher bestimmen. Es ist manchmal wichtig sich darüber klar zu werden, was gefordert ist und was nicht, so dass man sich keine unnötige Arbeit macht. Ich sage das, weil du schon die zweiten partiellen Ableitungen hingeschrieben hast und damit die Einträge der Hesse-Matrix bestimmt hast. Die Hesse-Matrix brauchst du nur, wenn du rausfinden willst, ob dein Extremum ein relatives Minimum oder Maximum ist. Du betrachtest dann die Hesse-Matrix an der Stelle des vermuteten Extremums und schaust ob die Matrix dann positiv definit [mm] ($\Righarrow$ [/mm] Minimum) oder negativ definit [mm] ($\Rightarrow$ [/mm] Maximum) oder was anderes ist [mm] ($\Rightarrow$ [/mm] parabolischer, hyperbolischer Punkt etc.).
Wenn du aber nur die Extremwerte bestimmen möchtest, dann bildest du den Gradienten der Funktion und setzt ihn gleich null.
$$
grad f = 0
$$
Die ersten partiellen Ableitungen auszurechnen war also schon mal ein richtiger Schritt. Du musst beachten, dass die Variablen $x$ und $y$ voneinander unabhängig sind. Deshalb ist [mm] $\frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = 0$ und für jede andere Funktion $g = g(y)$, die nur von y abhängt gilt das gleiche.
Dann hast du leider vergessen bei [mm] $\partial_x [/mm] f$ die Produktregel anzuwenden. Aus [mm] $\partial_y [/mm] f$ bekommst du eine eindeutige Bedingung für y. Das setzt du dann in [mm] $\partial_x [/mm] f$ ein. Du hast insgesamt zwei Extrema und die machen auch von der Anschauung her Sinn. Du hast ja eine rotationsymmetrische Funktion [mm] $x^2+y^2$, [/mm] die in x-Richtung von der e-Funktion [mm] $e^{-x}$ [/mm] moduliert wird.
Grüße, Nick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Do 06.09.2007 | | Autor: | JuliaKa |
Hallo Nick!
Habe deine Ratschläge zur Kenntnis genommen und nun folgendes herausbekommen:
für Zx diesmal: [mm] -(x^2+y^2)*e^-x [/mm] + e^-x * 2x
und für Zy immernoch 2ye^-x
Zy=0 ist dann y=0
und das in Zx ist einmal x=0 und x=2
ist ja mal gar nicht so schlecht :)))
und die x-Werte in f(x;y) ergibt y=0, also ein Extrema in (0/0)
und 2i = y, also [mm] \wurzel{-4}
[/mm]
laut buch müsste da 0 rauskommen und noch 2 weitere Extrema.
mache ich nur rechenfehler oder hapert es irgendwo speziell?
Julia
Habe auch diese Frage nirgendso anders gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Do 06.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
du willst also den grad f(x,y) berechnen.
[mm] f(x,y)=(x^2+y^2)\cdot{}e^{-x}
[/mm]
Du leitest also erst einmal ab:
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x*e^{-x}-x^2*e^{-x}-y^2*e^{-x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y}=2y*e^{-x}
[/mm]
Jetzt musst du die kritischen Punkte berechnen:
grad [mm] f(x,y)=(2x*e^{-x}-x^2*e^{-x}-y^2*e^{-x},2y*e^{-x})=(0,0)
[/mm]
Also
1. [mm] 2x*e^{-x}-x^2*e^{-x}-y^2*e^{-x}=0
[/mm]
2. [mm] 2y*e^{-x}=0 \gdw [/mm] y=0.
y=0 in 1. einsetzen:
[mm] 2x*e^{-x}-x^2*e^{-x}=e^{-x}*(2x-x^2)=0
[/mm]
[mm] e^{-x}>0 [/mm] für alle x, also
[mm] (2x-x^2)=0
[/mm]
x*(2-x)=0, der Fall, wenn x=0.
2-x=0 der Fall, wenn x=2.
Um welches Extrema es sich handelt, kannst du mit der Hesse-Matrix berechnen.
Um diese zu bestimmen, musst du
[mm] \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial x}, \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y}, \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x}, \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial y} [/mm] berechnen.
[mm] H(f(x,y))=\pmat{ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial x} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial x \partial y} \\ \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial f(x,y)}{\partial y \partial y} }
[/mm]
du musst die kritischen Punkte einsetzen und kannst dann bestimmen, um welche Art von Extrema es sind handelt. Wie das geht, kannst du ![[]](/images/popup.gif) hier sehr gut nachlesen.
Ich habe am Anfang noch einmal die kritischen Stellen berechnet, weil ich nicht gesehen habe, dass du diese bereits berechnet hast.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Do 06.09.2007 | | Autor: | JuliaKa |
ola!
dann hab ichs ja doch noch richtig gemacht!
aber die y koordinate zu x=2 bekomme ich auch nicht heraus, bzw es ist
[mm] \wurzel{-4} [/mm] und das geht ja nicht...
also ich habs so gemacht:
z(x=2, y)=
[mm] (2^2+y^2) [/mm] * e^-2 = 0
(4+ [mm] y^2) [/mm] * e^-2 = 0
4e^-2 + [mm] y^2*e^-2= [/mm] 0
4e^-2 = [mm] -y^2*e^-2 [/mm] das dann durch e^-2
4= [mm] -y^2
[/mm]
also
-4= [mm] y^2
[/mm]
also y= [mm] \wurzel{-4}
[/mm]
habs schon mehrmals gerechnet :(
Julia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Do 06.09.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> ola!
>
> dann hab ichs ja doch noch richtig gemacht!
> aber die y koordinate zu x=2 bekomme ich auch nicht
> heraus, bzw es ist
> [mm]\wurzel{-4}[/mm] und das geht ja nicht...
![[stop]](/images/smileys/stop.gif "[stop]")
> also ich habs so gemacht:
> z(x=2, y)=
> [mm](2^2+y^2)[/mm] * e^-2 = 0
> (4+ [mm]y^2)[/mm] * e^-2 = 0
> 4e^-2 + [mm]y^2*e^-2=[/mm] 0
> 4e^-2 = [mm]-y^2*e^-2[/mm] das dann durch e^-2
> 4= [mm]-y^2[/mm]
> also
> -4= [mm]y^2[/mm]
> also y= [mm]\wurzel{-4}[/mm]
>
> habs schon mehrmals gerechnet :(
>
> Julia
>
Du hast ja folgenden Grad f(x,y) gegeben:
grad [mm] f(x,y)=(2x\cdot{}e^{-x}-x^2\cdot{}e^{-x}-y^2\cdot{}e^{-x},2y\cdot{}e^{-x})
[/mm]
Um die kritischen Stellen zu berechnen, musst du
grad [mm] f(x,y)=(2x\cdot{}e^{-x}-x^2\cdot{}e^{-x}-y^2\cdot{}e^{-x},2y\cdot{}e^{-x})=(0,0) [/mm] lösen!
Das heißt:
1. [mm] 2x\cdot{}e^{-x}-x^2\cdot{}e^{-x}-y^2\cdot{}e^{-x}=0
[/mm]
2. [mm] 2y\cdot{}e^{-x}=0
[/mm]
Aus zweitens folgt, dass y nur eine Lösung haben kann y=0!
Du kannst also y=0 in die 1. Gleichung einsetzen und erhälst:
[mm] 2x\cdot{}e^{-x}-x^2\cdot{}e^{-x}=0
[/mm]
du bekommst einmal x=0 und x=2 heraus.
Das heißt, du hast die kritischen Stellen (x,y)=(0,0) und (x,y)=(2,0).
Du musst kein zu x=2 oder x=0 gehöriges y mehr berechnen, weil das ja in beiden Fällen y=0 ist.
Ist es dir klar geworden, warum? Die 2. Gleichung ist nur für y=0 lösbar, sodass ein anderer Wert für y die Gleihung schon gar nicht mehr erfüllen würde.
MfG barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Do 06.09.2007 | | Autor: | JuliaKa |
oh wie peinlich....
natürlich! jetzt ist alles klar!
also wie gesagt, die bücher von papula kann ich nur empfehlen aber dieses beispiel und speziell dieser schritt wie man y koordinaten herausbekommt ist doof umschrieben!
dann hoffe ich mal, dass ich weiterhin mit dem buch klarkomme. ansonsten meld ich mich wieder
trotzdem nochmal vielen dank und vielleicht bis bald!
Gruß, Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Do 06.09.2007 | | Autor: | nick_twisp |
Barsch hat unten ja die Rechnung nochmal ausführlich dargestellt.
Wenn du deine Rechnung und die Rechnung von Barsch für richtig hälst, dann würde ich sagen, hat das Buch ein Fehler.
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