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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:42 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Markus23 |
| Aufgabe | Berechenen Sie die kürzeste Entfernung zwischen den Graphen von
f(x) = [mm] x^{2}+1 [/mm] und g(x)=x-4. |
Hallo, kann mir jemand diese Aufgabe lösen und erklären ,
Gruß
Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:10 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Anders als Deine Überschrift vermuten lässt, würde ich diese Aufgabe hier nicht mit Differentialrechnung lösen sondern mit geometrischen Mitteln:
Der Punkt, der auf der Parabel $f(x)_$ der Geraden am nächsten liegt, muss eine Tangente haben, die parallel zur gegebenen Gerade $g(x)_$ verläuft.
Bestimme als den $x_$-Wert auf der Parabel mit $f'(x) \ = \ [mm] m_g$ [/mm] .
Mit diesem Punkt $P_$ auf der Parabel sowie der Steigung lässt sich nun die Normal durch $P_$ ermitteln (Punkt-Steigungs-Form).
Der Schnittpunkt dieser Normalen mit der gegebenen Gerade liefert uns den Punkt $Q_$ , der auf der Geraden liegt und der Parabel am nächsten.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mit diesen Koordinatenwerten für $P_$ und $Q_$ dann in die Abstandsformel zweier Punkte in der Ebene:
In der Ebene wird der Abstand zweier Punkte $P \ [mm] \left( \ x_P \ | \ y_P \ \right)$ [/mm] und $Q P \ [mm] \left( \ x_Q \ | \ y_Q \ \right)$ [/mm] mit folgender Formel beschrieben:
$d(P;Q) \ = \ [mm] \wurzel{\left(x_Q-x_P\right)^2+\left(y_Q-y_P\right)^2 \ }$
[/mm]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:41 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Markus23 |
Hallo, ermal Danke für die schnell Antwort,
wie komme ich den ersten punkt, der gelben Funktion, ich habe mal so gedacht
f'(x)=2x= 2 selber bestimmer x Wert f'(x)=1 Punkt P (2/4)
m(x)=-x+b
4 =-2+b
b=6
m(x)-x+6 was mache ich falsch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Mi 22.02.2006 | | Autor: | riwe |
[mm] y^\prime [/mm] = [mm] 2x_0=1 \rightarrow Q(1/\frac{5}{4}), [/mm] die normale durch Q: y = -x + n mußt du nun mit der geraden g schneiden.
EDIT: Q korrigiert [mm] Q(\frac{1}{2}/\frac{5}{4}), [/mm] war ein offensichtlicher tippfehler
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:25 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo riwe!
Der x-Wert für die Tangente lautet aber doch [mm] $x_Q [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] , oder? 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:41 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Markus23 |
das ist richtig mit x 0,5 aber wie kommst du darauf,
f'(x)=2x =1 wie kommst du auf die 1,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Markus!
Wie lautet denn die Geradensteigung [mm] $m_g$ [/mm] der Geraden $y \ = \ x-4 \ = \ [mm] \blue{1}*x-4$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 22.02.2006 | | Autor: | Markus23 |
danke habe es verstanden, die Funktion f(x)= [mm] x^{2}+1 [/mm] hat die selbe steigung wie die g(x)=x-4, da sie parallel verlaufen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 22.02.2006 | | Autor: | riwe |
2x = 1, das steht ja schon weiter oben!
das liefert natürlich x = [mm] \frac{1}{2}. [/mm] ich habe es korrigiert.
1 ist der anstieg/ die steigung der geraden g, siehe graphik.
werner
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