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| Aufgabe | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt hat? |
Hallo MatheForum!
Hier bin ich wieder mit einem weiteren Extremwertrpoblem Hier aber habe ich gar keine Ahnung, wie ich es lösen soll!
A(x) des Kanalquerschnitts setzt sich zusammen aus [mm] A_Kreis(x)=1/4*\pi*x^2 [/mm] und A_Rechteck(x)=x*y.
Ebenso der Umfang des Querschnitts:
[mm] U_Kreis(x)=\pi*x [/mm] und U_Rechteck(x)=2*(x+y)
Also ist
[mm] A(x)=x*y+1/4*\pi*x^2 [/mm] und
U(x)= [mm] 2*(x+y)+\pi*x
[/mm]
Wenn ich U(x) nach y auflöse, komme ich auf
y= [mm] \bruch{2x^2+\pi*x^2}{2*U}
[/mm]
Stimmt das?
Eingesetzt in A(x), ergibt es
[mm] A(x)=\bruch{2x^2+\pi*x^2}{2*U}+/4*\pi*x^2
[/mm]
Davon müsste ich dann die 1. Ableitung Null setzten und das Maximum errechnen.
Meine Frage:
Stimmt mein Ansatz??
Danke für die Hilfe!
LG Eli
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Hallo Elisabeth17,
> Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines
> Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
> Wie müssen bei gegebenem Umfang U des Querschnitts die
> Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt den
> größten Flächeninhalt hat?
> Hallo MatheForum!
> Hier bin ich wieder mit einem weiteren Extremwertrpoblem
> Hier aber habe ich gar keine Ahnung, wie ich es lösen
> soll!
>
> A(x) des Kanalquerschnitts setzt sich zusammen aus
> [mm]A_Kreis(x)=1/4*\pi*x^2[/mm] und A_Rechteck(x)=x*y.
Die Fläche vom Halbkreis ist aber: [mm]A_{Halbkreis}=\bruch{1}{2}*\pi*\bruch{x^{2}}{4}=\bruch{1}{8}*\pi*x^{2}[/mm]
>
> Ebenso der Umfang des Querschnitts:
> [mm]U_Kreis(x)=\pi*x[/mm] und U_Rechteck(x)=2*(x+y)
Genauso hier [mm]U_{Halbkreis}=\bruch{1}{2}*\pi*x[/mm]
>
> Also ist
> [mm]A(x)=x*y+1/4*\pi*x^2[/mm] und
> U(x)= [mm]2*(x+y)+\pi*x[/mm]
>
> Wenn ich U(x) nach y auflöse, komme ich auf
> y= [mm]\bruch{2x^2+\pi*x^2}{2*U}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
> Eingesetzt in A(x), ergibt es
> [mm]A(x)=\bruch{2x^2+\pi*x^2}{2*U}+/4*\pi*x^2[/mm]
>
> Davon müsste ich dann die 1. Ableitung Null setzten und das
> Maximum errechnen.
> Meine Frage:
>
> Stimmt mein Ansatz??
>
> Danke für die Hilfe!
>
> LG Eli
>
>
>
>
Gruß
MathePower
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Ja klar, ich habe ganz vergessen, dass es sich ja um einen Halbkreis ahndelt, nicht um einen vollständigen Kreis.
Jetzt ist alles klar.
Danke, MathePower!
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