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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
| Aufgabe | So stabil wie möglich:
Aus einem Baumstamm vom Durchmesser 60cm soll ein Balken herausgeschnitten werden. Bei welchen Abmessungen wird seine Tragfähigkeit möglichst groß?
Die Tragfähigkeit T eines rechteckigen Balkens, so erfährt man es von Statikern, ist proportional zur Breite x und zum Quadrat der Höhe y. Es ist also [mm] T(x,y)=m*x*y^2, [/mm] wobei m eine für das Baummaterial charakteristische Konstante ist. |
Ich weiß, dass man eine Zielfunktion und Nebenbedingung aufstellen muss, um weiterrechnen zu können. Aber da scheitert es auch schon bei mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 So 18.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Susanne
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wir hoffen wir sind ein nettes und hilfreiches Forum und denken deshalb, dass ma uns auch nett behandeln sollte! Also so die üblichen Nettigkeiten wie Begrüßung, so was wie ne Bitte und ein nettes Wort zum Abschluss. Stell dir vor, zu dir kommt jemand und schmeisst dir einfach ne Frage an den Kopp!
Trotzdem erst mal ein paar Tips.
Die Zielfkt, also das was maximal werden soll ist doch schon gegeben:T(x)
Die Nebenbed. d.h. den Zusammenhang kriegst du aus ner Querschnittszeichnung der Baumstamms raus, zeichne nen Radius bis zu einer Ecke des Rechtecks ein und denk an Herrn Pythagoras.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
Hier zur Unterstützung nochmal ne kleine Skizze...
Gruß
AXXEL
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:15 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Das ist wirklich lieb, danke =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Ok, dann erstmal sorry, ich dachte man schreibt nicht in jeden Beitrag HI, Ciao etc...
Dann danke für den Tip, ich habs mal gezeichnet und hab halt jetzt diese Dreieck, tut mir Leid, aber wie wende ich dann den Satz des Pythargoras an? Ist denn denn da auch ein rechtwinkliges Dreieck?
Ist die Zielfunktion denn T(x)=2x*y (das wäre ja dann das Volumen von dem Balken, oder?)
Vielen danke für die Mühe ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
wie du in meiner Zeichnung sehen kannst, ist das Dreieck rechtwinklig !
Du kannst also den Satz des Pythagoras anwenden.
Deine Hauptbedingung lautet ja: [mm] T=m*x*y^{2} [/mm] !
Die Nebenbedingung ist wie schon angesprochen der Satz des Pythagoras des Dreiecks mit den Seiten r, [mm] \bruch{x}{2} [/mm] und [mm] \bruch{y}{2} [/mm] , also
[mm] r^2 [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{4} +\bruch{y^{2}}{4}
[/mm]
Das nach [mm] y^{2} [/mm] umgeformt und in die Hauptbedingung eingesetzt ergibt deine Zielfunktion!
Gruß
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Vielen Dank.
ich hab jetzt nochmal drüber nachgedacht (besonders, da ich es ja so "liebe" mit BVrüchen zu rechnen). Würde es denn auch funktionieren, wenn man anstelle von dem Radius r mit dem Durchmesser d rechnen würde? Dann kann man anstelle von x/2 und y/2 doch x und y nehmen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
Ja, du könntest auch das Dreieck mit den Seiten d,x und y nehmen... Das ist egal!
Gruß
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Hi,
ich hab es dann mal so versucht, hier ist mein Rechenweg:
Zielfunktion
T = [mm] m*x*y^2
[/mm]
Nebenbedingung
[mm] d^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
[mm] 3600=x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] | [mm] -x^2
[/mm]
3600 - [mm] x^2 [/mm] = [mm] y^2
[/mm]
[mm] y^2 [/mm] in die Zielfunktion einsetzten:
[mm] T(x)=4x*(3600-x^2)
[/mm]
[mm] T(x)=14400x-4x^3
[/mm]
Ableitung:
[mm] T´(x)=14400-12x^2
[/mm]
Gleich null setzten:
0 = 14400 - [mm] 12x^2 [/mm] | + [mm] 12x^2
[/mm]
[mm] 12x^2 [/mm] = 14400 |:12
[mm] x^2 [/mm] = 1200 | wurzel von 1200
x [mm] \approx [/mm] 34,641
x in Nebenbedingung:
3600 = [mm] (34,641)^2 [/mm] * [mm] y^2 [/mm] |-1199,99
2400,01 = [mm] y^2 [/mm] | wurzel von 2400,01
y [mm] \approx [/mm] 48,99
Ich bin mir halt jetzt nicht sicher, ob meine Lösung stimmt. Wie kann ich das denn herasufinden?
Vielen Dank,
Susanne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
Also ich sehe da keinen Fehler, das müsste stimmen!
Du musst jetzt nur noch die maximale Tragfähigkeit ausrechnen.
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Dankeschön =)
Und wie rechne ich das aus^^?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 18.06.2006 | | Autor: | MonoTon |
achtung!!!
da ist was schief gelaufen...!
// $ [mm] d^2=x^2\cdot{}y^2 [/mm] $
// $ [mm] 3600=x^2\cdot{}y^2 |-x^2 [/mm] $
// $ [mm] 3600-x^2=y^2 [/mm] $
aller anfang ist schwer...
mfg Mono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:38 So 18.06.2006 | | Autor: | Susanne |
Dankeschön, hab den Fehler in der Rechnung schon behoben. Es soll natürlich [mm] d^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] heißen
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