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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Mo 29.11.2004 | | Autor: | mya2112 |
Hallo ihr Lieben.
Ich bin grad bei meinen Klausurvorbereitungen und habe direkt bei zwei Aufgaben Probleme.
1.
Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein gerader Kreiskegel von größtmöglichem Volumen so einbeschrieben werden, dass die Spitze dieses Kegels mit dem Kugelmittelpunkt zusammen fällt. Welche Abmessungen muss der Kegel haben? Wie groß ist das maximale Volumen?
Als Zielfunktion habe ich [mm] V(r;h)=\bruch{1}{3}*\pi*r²h [/mm] und als
Nebenbedingung [mm] h=\wurzel{R²-r²}
[/mm]
also ist [mm] V(r)=\bruch{1}{3}*\pi*r²\wurzel{R²-r²} [/mm] mit [mm] D=[-\infty;R]
[/mm]
und als Ableitung habe ich [mm] V'(r)=\bruch{\bruch{1}{3}*\pi*rR²-\pi*r³}{\wurzel{R²-r²}}
[/mm]
Nullstellen dieser Ableitung habe ich bei [mm] r_{1}=0; r_{2}=\wurzel{\bruch{2}{3}R²} [/mm] und [mm] r_{3}=-\wurzel{\bruch{2}{3}R²}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Und wie kann ich jetzt weiter machen?? Ich kriege nämlich nichts vernünftiges für die zweite Ableitung raus.
2.
Die beiden durch die Gleichung y²=4x und y²=-8(x-8) gegebenen Kurven begrenzen mit der x-Achse im ersten Quadranten ein Flächenstück. Diesem Flächenstück ist ein mit einer Seite auf der x-Achse liegendes Rechteck mit größtmöglichem Flächeninhalt einzubeschreiben. Wie groß ist dieser Flächeninhalt?
Ich weiß, dass mein Ziel A(x;y)=x*y ist. Aber was ist meine Nebenbedingung?? Ich habe ja diese zwei anderen Gleichungen, aber wie kann ich die verwenden?? Kann ich die einfach multiplizieren, oder so was??
Vielen Dank für eure Hilfe im Vorraus!! Miriam
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Miriam!
> 1.
> Einer Halbkugel mit dem Radius R soll ein gerader
> Kreiskegel von größtmöglichem Volumen so einbeschrieben
> werden, dass die Spitze dieses Kegels mit dem
> Kugelmittelpunkt zusammen fällt. Welche Abmessungen muss
> der Kegel haben? Wie groß ist das maximale Volumen?
Was ist denn ein "gerader" Kreiskegel? Wahrscheinlich verstehe ich hier irgendetwas falsch, denn ich würde sagen, dass das größte Volumen erreicht wird, wenn man als Radius den Radius der Kugel nimmt und als Höhe ebenfalls. Aber dann würde die Aufgabe keinen Sinn machen, oder?
> Als Zielfunktion habe ich [mm]V(r;h)=\bruch{1}{3}*\pi*r²h[/mm] und
> als
> Nebenbedingung [mm]h=\wurzel{R²-r²}
[/mm]
Kann schon sein, dass die Nebenbedingung stimmt, aber ich sehe es im Moment nicht. Wie kommst du darauf?
> also ist [mm]V(r)=\bruch{1}{3}*\pi*r²\wurzel{R²-r²}[/mm] mit
> [mm]D=[-\infty;R]
[/mm]
>
> und als Ableitung habe ich
> [mm]V'(r)=\bruch{\bruch{1}{3}*\pi*rR²-\pi*r³}{\wurzel{R²-r²}}
[/mm]
Ich habe hier folgendes raus (aber es kann durchaus sein, dass ich mich verrechnet habe, du musst aber darauf achten, dass du sowohl die Produktregel anwenden musst als auch die Kettenregel (für die Wurzel):
[mm] V'(r)=\bruch{2\pi rR^2}{3\wurzel{R^2-r^2}}
[/mm]
> Nullstellen dieser Ableitung habe ich bei [mm]r_{1}=0; r_{2}=\wurzel{\bruch{2}{3}R²}[/mm]
> und [mm]r_{3}=-\wurzel{\bruch{2}{3}R²}
[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Und wie kann ich jetzt weiter
> machen?? Ich kriege nämlich nichts vernünftiges für die
> zweite Ableitung raus.
Am besten rechnest du die erste Ableitung noch einmal nach...
> 2.
> Die beiden durch die Gleichung y²=4x und y²=-8(x-8)
> gegebenen Kurven begrenzen mit der x-Achse im ersten
> Quadranten ein Flächenstück. Diesem Flächenstück ist ein
> mit einer Seite auf der x-Achse liegendes Rechteck mit
> größtmöglichem Flächeninhalt einzubeschreiben. Wie groß ist
> dieser Flächeninhalt?
Bist du sicher, dass die Gleichungen mit [mm] y^2=... [/mm] angegeben sind? So was ist mir noch nicht so wirklich begegnet...
> Ich weiß, dass mein Ziel A(x;y)=x*y ist. Aber was ist meine
> Nebenbedingung?? Ich habe ja diese zwei anderen
> Gleichungen, aber wie kann ich die verwenden?? Kann ich die
> einfach multiplizieren, oder so was??
Ich glaube, in der Regel sind diese beiden Funktionen dafür da, um die Seitenlängen in gegenseitiger Abhängigkeit zu beschreiben, so dass du diese dann in deine Zielfunktion einsetzen kannst.
Übrigens wäre bei beiden Aufgaben ein Bildchen hilfreich (auch für dich zum Rechnen).
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mo 29.11.2004 | | Autor: | dominik |
1. [mm] f_{1}(x)= \wurzel{4x}=2 \wurzel{x}, [/mm] entstanden aus [mm] y^{2}=4x
[/mm]
2. [mm] f_{2}(x)=\wurzel{64-8x}, [/mm] entstanden aus [mm] y^{2}=-8*(x-8)
[/mm]
Beide Grafen befinden sich im 1. Quadranten: [mm] f_{1} [/mm] ist nach rechts geöffnet und hat den Scheitel im Nullpunkt, [mm] f_{2} [/mm] ist nach links geöffnet und hat den Scheitel auf der x-Achse bei x=8; sie schneiden sich etwa im Punkt mit den Koordinaten (5.4/4.6); dies als Kontrolle!
3. Wenn Du das Rechteck einzeichnest, liegen 2 Punkte auf der x-Achse und je ein Punkt auf den Grafen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2}: [/mm] sagen wir: der erste Punkt auf der x-Achse habe den x-Wert a, der 2. Punkt den x-Wert b
4. Der Flächeninhalt des Rechtecks hat somit den Wert [mm] (b-a)*f_{1}(a) [/mm] oder [mm] (b-a)*f_{2}(b)
[/mm]
5. Es gilt also: [mm] f_{1}(a)=f_{2}(b) [/mm] ; beide Terme stellen die Breite des Rechtecks dar (senkrecht zur x-Achse)
6. Daraus folgt: 2 [mm] \wurzel{a}= \wurzel{64-8b} [/mm] / quadrieren
[mm] \gdw [/mm] 4a = 64-8b [mm] \gdw [/mm] a=16-2b
Damit haben wir eine Beziehung zwischen a und b
7. Flächeninhalt [mm] A=(b-a)*f_{1}(a) [/mm] (siehe 4.)
[mm] \gdw [/mm] A=(b-a)*2 [mm] \wurzel{a} [/mm] = (b-16+2b)*2 [mm] \wurzel{16-2b} [/mm] [von 6.]
= [mm] 2*(3b-16)(16-2b)^{0.5}
[/mm]
Der Flächeninhalt A ist jetzt nur noch eine Funktion von b und kann demnach abgeleitet werden, damit der Extremwert bestimmt werden kann:
8. A'(b)=2*(u'*v+u*v') =
= [mm] 2*(3*\wurzel{16-2b}+(3b-16)*0.5*(16-2b)^{-0.5}*(-2))
[/mm]
[-2: innere Ableitung]
[mm] =2*(3\wurzel{16-2b}- \bruch{3b-16}{\wurzel{16-2b}})
[/mm]
=2* [mm] \bruch{3*(16-2b)-3b+16}{\wurzel{16-2b}}
[/mm]
9. Dieser verrückte Term ist dann Null, wenn der Zähler oben Null ist:
3*(16-2b)-3b+16=0 [mm] \gdw [/mm] 3*(16-2b)=3b-16 [mm] \gdw [/mm] 48-6b=3b-16
[mm] \gdw [/mm] 64=9b [mm] \gdw b=\bruch{64}{9} \Rightarrow [/mm] a=16-2b [von 6] [mm] =16-\bruch{128}{9}= \bruch{144}{9}-\bruch{128}{9}=\bruch{16}{9}
[/mm]
10. A=(b-a)*2 [mm] \wurzel{a}=(\bruch{64}{9}- \bruch{16}{9})*2 \wurzel{ \bruch{16}{9}}= \bruch{48}{9}*2* \bruch{4}{3}= \bruch{128}{9}
[/mm]
11. ufff!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mi 01.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Bastiane
Ja, natürlich: Mit der Relation [mm] y^{2}=4x [/mm] lassen sich die beiden Funktionen [mm] f_{1}=+2 \wurzel{x} [/mm] und [mm] g_{1}=-2\wurzel{x} [/mm] bilden, analog mit der andern Relation. Es ergeben sich insgesamt vier Funktionen.
Da sich "die Sache mit dem Rechteck" im ersten Quadranten abspielt, also oberhalb der x-Achse, habe ich die beiden Funktionen gewählt, die dort eine Rolle spielen, und die beiden andern, die unterhalb der x-Achse liegen und in Bezug auf das Rechteck keine Rolle spielen, einfach weggelassen ...
dominik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 30.11.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Miriam
Dein Ansatz ist völlig richtig, nur würde ich in der Formel nicht h durch R und r ersetzen, sondern - umgekehrt - r durch R und h. Damit vermeidest Du die Wurzel:
1. [mm] V_{Kegel}= \bruch{1}{3}r^{2}* \pi*h=V(r.h)
[/mm]
2. Pythagoras: [mm] h^{2}+r^{2}=R^{2} \gdw r^{2}=R^{2}-h^{2}
[/mm]
1'. [mm] V_{Kegel}= \bruch{1}{3}(R^{2}-h^{2})* \pi*h=\bruch{1}{3}\pi(R^{2}h-h^{3})=V(h)
[/mm]
3. [mm] V'(h)=\bruch{1}{3}\pi(R^{2}-3h^{2})
[/mm]
4. V'(h)=0 [mm] \Rightarrow R^{2}-3h^{2} [/mm] = 0 [mm] \gdw R^{2} [/mm] = [mm] 3h^{2} \gdw h^{2} [/mm] = [mm] \bruch{R^{2}}{3} =\bruch{3R^{2}}{9} \gdw h=\bruch{R \wurzel{3}}{3} \Rightarrow r^{2} [/mm] = [mm] 3h^{2}-h^{2} =2h^{2} \Rightarrow [/mm] r = h [mm] \wurzel{2} [/mm]
Viele Grüsse
dominik
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