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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
| Aufgabe | Die "LeckerliAG" benötigt für ihre Produkte "Sommerpralinen-Schachteln". Die Schachteln dienen dazu, dass man Pralinen, die Kunden über das Internet gekauft haben, versenden kann. Die Kisten dürfen nicht zu klein sein, weil sonst nicht die gewünschte Anzahl an Pralinen hinein passt und sie dürfen auch nicht beliebig groß sein, da sonst das Porto zu teuer wird.
Zur Herstellung dieser Pappschachteln stehen quadratische Pappen mit der Seitenlänge von 10cm zur Verfügung. Für eine Kiste benötigt man eine Pappe. Die Kisten werden in der Weise gefertigt, dass an den vier Ecken der Pappe Quadrate ausgeschnitten und die dann vostehenden Rechtecke hochgeknickt werden. Anschließend werden die offenen Kanten verklebt.
Welche Seitenlänge x müssen die ausgeschnittenen Quadrate haben, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? Wie groß ist das maximale Volumen einer derart hergestellten Schachtel? |
So, wir haben heute mit dem Thema "Extremwertprobleme" begonnen und haben zu Anfang ein Arbeitsblatt mit dieser Aufgabenstellung bekommen. Mein Ansatz lautet wie folgt:
Als erstes habe ich mir eine Skizze gemacht. Dabei habe ich festgestellt, dass ich 4 Quadrate herausschneiden muss. Daraus folgt, dass ich von der Grundfläche 100cm³ 4*x² abziehen muss. Also:
f(x)=100-4x²
Also nächstes dachte ich mir, da ich ja das möglichst maximale Volumen berechnen soll, bilde ich die Ableitungen.
f(x)=100-4x²
f'(x)= -8x
f''(x)= -8 < 0 --> also ein Hochpunkt.
nun wollte ich x berechnen und zwar über die erste Ableitung, ich weiß nicht mehr genau wie ich darauf gekommen bin, aber meine Lehrerin meinte, dass man das schon über die 1. Ableitung macht, also denke ich, es sollte soweit richtig sein.
-8x=0 | +8
x = 8
So dann habe ich das durch 4 geteilt, weil ich ja 4 quadrate habe, also 2 für jedes Quadrat.
Wenn ich dann von jeder Seite der Pappe jeweil 2cm für jedes Quadrat abziehe habe ich also:
6*6 =36
Also bleibt eigentlich eine Grundfläche von 36cm²
diese 2cm die die kleinen Quadrate lang sind, sollte die ganze Schachtel logischer Weise hoch sein also folgt:
6*6*2= 72
Also ein Volumen von 72cm³
Jetzt meinte meine Lehrerin aber, dass das so noch nicht ganz stimmt. Es wäre sehr nah an der Lösung. Und jetzt wollte ich wissen, wie ihr das ganze gelöst hättet, und ob mir jemand helfen könne, da ich echt nicht weiter weiß.
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> Die "LeckerliAG" benötigt für ihre Produkte
> "Sommerpralinen-Schachteln". Die Schachteln dienen dazu,
> dass man Pralinen, die Kunden über das Internet gekauft
> haben, versenden kann. Die Kisten dürfen nicht zu klein
> sein, weil sonst nicht die gewünschte Anzahl an Pralinen
> hinein passt und sie dürfen auch nicht beliebig groß
> sein, da sonst das Porto zu teuer wird.
> Zur Herstellung dieser Pappschachteln stehen quadratische
> Pappen mit der Seitenlänge von 10cm zur Verfügung.
das werden dann ziemlich bescheidene Pralinenschachteln ... 
> Für eine Kiste "Kiste" = Schachtel ?
> benötigt man eine Pappe. Die Kisten werden in
> der Weise gefertigt, dass an den vier Ecken der Pappe
> Quadrate ausgeschnitten und die dann vostehenden Rechtecke
> hochgeknickt werden. Anschließend werden die offenen
> Kanten verklebt.
kleiner technischer Hinweis: die kleinen Quadrate
einfach wegzuschneiden, ist eher ungeschickt: man könnte
sie prima zum Kleben verwenden - andernfalls benötigt man
einen Spezialkleber, damit die Klebungen halten ...
> Welche Seitenlänge x müssen die ausgeschnittenen Quadrate
> haben, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß
> wird? Wie groß ist das maximale Volumen einer derart
> hergestellten Schachtel?
> So, wir haben heute mit dem Thema "Extremwertprobleme"
> begonnen und haben zu Anfang ein Arbeitsblatt mit dieser
> Aufgabenstellung bekommen. Mein Ansatz lautet wie folgt:
>
> Als erstes habe ich mir eine Skizze gemacht. Dabei habe ich
> festgestellt, dass ich 4 Quadrate herausschneiden muss.
> Daraus folgt, dass ich von der Grundfläche 100cm³ 4*x²
> abziehen muss. Also:
>
> f(x)=100-4x²
Dies ist der verbleibende Flächeninhalt der Pappe.
Was du aber brauchst, ist die Funktion, welche das
Volumen der (oben offenen) Schachtel beschreibt !
> Also nächstes dachte ich mir, da ich ja das möglichst
> maximale Volumen berechnen soll, bilde ich die
> Ableitungen.
>
> f(x)=100-4x²
> f'(x)= -8x
> f''(x)= -8 < 0 --> also ein Hochpunkt.
Wie schon gesagt, solltest du zuerst die richtige Funktion
(für das Volumen) haben.
> nun wollte ich x berechnen und zwar über die erste
> Ableitung, ich weiß nicht mehr genau wie ich darauf
> gekommen bin, aber meine Lehrerin meinte, dass man das
> schon über die 1. Ableitung macht, also denke ich, es
> sollte soweit richtig sein.
>
> -8x=0 | +8 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> x = 8 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> So dann habe ich das durch 4 geteilt, weil ich ja 4
> quadrate habe, also 2 für jedes Quadrat.
jetzt wird's aber echt abenteuerlich ...
> Wenn ich dann von jeder Seite der Pappe jeweil 2cm für
> jedes Quadrat abziehe habe ich also:
>
> 6*6 =36
> Also bleibt eigentlich eine Grundfläche von 36cm²
>
> diese 2cm die die kleinen Quadrate lang sind, sollte die
> ganze Schachtel logischer Weise hoch sein also folgt:
>
> 6*6*2= 72
>
> Also ein Volumen von 72cm³
>
> Jetzt meinte meine Lehrerin aber, dass das so noch nicht
> ganz stimmt.
das hat sie aber seeehr freundlich formuliert !
> Es wäre sehr nah an der Lösung.
das ist nun wirklich arg geflunkert - vielleicht hat sie
ja deine Rechnung gar nicht genau angeschaut !
> Und jetzt
> wollte ich wissen, wie ihr das ganze gelöst hättet, und
> ob mir jemand helfen könne, da ich echt nicht weiter
> weiß.
Stelle wie gesagt zuerst die richtige Zielfunktion auf, also
$\ V(x)\ =\ ...........$ (Schachtelvolumen)
Du brauchst dann die Ableitung(en) dieser Funktion.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
wie lautet denn dann V(x)?
V(x)= 100-4x²*x oder wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wie lautet denn dann V(x)?
> V(x)= 100-4x²*x oder wie?
oder!
wie lang ist denn eine Seite deines Bodens? Die nimmst du zum Quadrat mit Klammern! dann mit x= Höhe multiplizieren. Deine L. würde sagen: schon ganz gut, ich sag leider: einfach falsch. Notfalls bastel dir doch sowas in 10s. muss ja nicht unbedingt 10cm sein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:34 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
ja und was bringt mir das dann?
Wenn ich jetzt V(x)= (10)²*x habe, dann kommt für V'(x)= 20*1
Also wäre V'(x)=20.... kann ja irgendwie nicht sein, weil was bringt mir das?
kann mir mal jemand einen Lösungsansatz mit Zahlen schreiben? Nur einen Ansatz, ich verlange ja gar nicht, dass mir das hier jemand vorrechnet, damit ich dann das Lob dafür ernte. Ich möchte es verstehen. Also bitte :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn deine Pappe 10cm lang war, ist doch der Boden der Schachtel nicht 10 cm lang??
1. Schritt: schreibe die Lnge der Seite des Bodens auf, nachdem du die x cm rausgeschnitten hast. Tu das wirklich!
Kontrolliere am Beispiel x=2cm
2. Schritt quadriere diese Länge.
mit Kontrolle für x=2
3. Mult. das Ergebnis von 2. mit x. mit Kontrolle
4. nenne das V(x) falls es alle Kontrollen bestanden hat.
5. suche ein max von V(x)
6. Geh was netter mit Helfern um als: "ja und was bringt mir das dann? "
Begrüssung, ein nettes Wort für die Hilfe usw. motiviert Helfer!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
ok, tut mir leid!
Gut, habe mir jetzt so eine kleine Schachtel gebastelt.
Meine Pappe ist wie in der Aufgabe 10cm lang. So, habe dann 4 Quadrate mit jeweils einer Seitenlänge von 2 cm heraus geschnitten. Dann kam ich auf eine Bodenlänge von 6 cm. Habe das dann quadriert und kam auf 36 cm².
Ist das dann mein V(x) wenn ich das dann noch mit x multipliziere? Habe ich dich richtig verstanden?
Also wäre mein V(x)= 36x
Danke, nochmal für deine Hilfe, und es war ja auch wirklich nicht böse gemeint. Normalerweise bin ich auch eigentlich immer sehr freundlich ;)
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Hallo,
ich erkläre es Dir nochmal.
Wir wollen erstmal das Volumen der Schachtel wissen, die wir erhalten, wenn wir aus dem [mm] 10cm\times [/mm] 10cm-Quadrat an den Ecken kleine Quadrate der Seitenlänge x=2cm abschneiden.
Die Grundseite der Schachtel wird quadratisch mit der Seitenlänge (10-2*2)cm, und die Höhe der Schachtel ist 2cm.
Also haben wir fürs Volumen bei x=2: [mm] V(2)=(10-2*2)^2*2=72.
[/mm]
Nun für x=4: Grundfläche hat die Seitenlänge (10-2*4), die Höhe ist 4, also ist [mm] V(4)=(10-2*4)^2*4=16.
[/mm]
Vielleicht rechnest Du nochmal V(1) aus.
Danach schreibe alles allgemein für x auf:
Grundseite der Schachtel:
Grundfläche der Schachtel:
Höhe der Schachtel:
Volumen V(x)= ...
Für diese Volumenfunktion berechnest Du dann das Maximum.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
Ok, danke. Soweit habe ich es verstanden. Nur wie kommst du auf diese 10-2*2?
Ok ich glaube ich habe es:
Ist V(x)= (10-2x)²*x ????
LG
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> Ok, danke. Soweit habe ich es verstanden. Nur wie kommst du
> auf diese 10-2*2?
Hallo,
na, ich schnede doch rechts und links ein [mm] 2\times2-Quadrat [/mm] weg.
Guck Dir Dein gebasteltes Schächtelchen doch an.
Du hattest doch selbst auch festgestellt, daß die Grundfläche die Seitenlänge 6cm haben wird? Warum: weil zweimal 2cm weggenommen werden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
Ist V(x)= (10-2x)²*x ????
LG
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> Ist V(x)= (10-2x)²*x ????
ja !
jetzt multiplizierst du dies am besten zuerst komplett
aus.
Dann kannst du die nötigen Ableitungen hinschreiben.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
Hallöchen :)
Ich bin jetzt total happy ... Nach tausenden Denkanstößen habe ich es nun endlich verstanden. Nur Jetzt, es tut mir leid, dass ich so nerve, aber jetzt komme ich schon wieder nicht weiter.
Ich habe nun:
V(x)= (10-2x)²*x
V(x)= (100-40x+2x²)*x
V(x)= 2x³-40x²+100x
V'(x)=6x²-80x+100
V'(x)= 0
Dann bekomme ich bei der p-q-Formel, nachdem ich durch 6 geteilt habe aber lediglich nur negative Nullstellen heraus. Muss ich dann mit denen weiterrechnen. Ja sicher muss ich das.
Habe ich jetzt auch getan. Ich schreibe euch das alles einfach einmal auf:
x²+10x+16,67 = 0
[mm] x_{1/2}= [/mm] -5 [mm] \pm \wurzel{25-16,67}
[/mm]
[mm] x_{1/2}= [/mm] -5 [mm] \pm [/mm] 2,89
[mm] x_{1} [/mm] = -2,11
[mm] x_{2} [/mm] = -7,89
Und an sich, kann das schonmal nicht stimmen denn ich komme am Ende bei V(-2,11)= -407,79
Mit dem zweiten Wert muss ich erst gar nicht weiterrechnen... Ich kann doch kein negatives Volumen haben. Irgendwas stimmt da nicht und ich finde meinen Fehler einfach nicht... Bitte helft mit :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 02.06.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ines!
> V(x)= (10-2x)²*x
> V(x)= (100-40x+2x²)*x
Es muss hinten in der Klammer [mm] $...+\red{4}*x^2$ [/mm] lauten.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
hallo, also dann :
(10-4x)²*x oder wie?
und wenn ja, wieso?
Lg
Ines
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Hallo Ines,
nein, Du hast [mm] (10-2x)^2 [/mm] falsch ausgerechnet. Im letzten Glied musst Du die 2 doch auch mit quadrieren, also:
[mm] 100-40x+4x^2
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 02.06.2010 | | Autor: | ines09a |
Hat irgendwer denn diese Aufgabe berechnet?
Ich komme auf ein maximales Volumen von 74,07 cm³
Die Ergebnisse können ja bezüglich der Auf- bzw. Abrundungen variieren.
LG Ines
Ps: und danke noch einmal für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Mi 02.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber du hättest besser x angegben
Gruss leduart
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