F-F'-messbare Funktionen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien [mm] $\Omega, \Omega' \neq [/mm] 0$ und $f$ eine Funktion von [mm] $\Omega$ [/mm] nach [mm] $\Omega'$.
[/mm]
Sei $F$ eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega$ [/mm] und $F'$ eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega'$.
[/mm]
Zeige:
a) $F(f) := [mm] \{ f^{- 1}(B)\; \vert \; B \in F' \}$ [/mm] ist eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega$
[/mm]
b) $G' := [mm] \{ B \in F'\; \vert \; f^{- 1}(B) \in F \}$ [/mm] ist eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega'$
[/mm]
c) Drücke die $F-F'$ - Messbarkeit von $f$ in Termen von $F(f)$, sowie in Termen von $G'$ aus. |
Hallöchen, ich habe Fragen zu der Aufgabe oben.
Würde mich freuen, wenn jemand bereit ist, sie zu klären.
Meine erste Frage bezieht sich auf die a). Ich habe sie, denke ich, ganz gut gelöst. Aber ich bin mir noch nicht sicher, ob mein Beweis von den Begründungen her in Ordnung ist.
Daher wollte ich wissen, ob mein Beweis zur a) so in Ordnung ist:
z.z.: [mm] $\Omega \in [/mm] F(f)$
Da $F'$ n.V. eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega'$ [/mm] ist, ist [mm] $\Omega' \in [/mm] F'$.
Wähle also $B = [mm] \Omega'$ [/mm] und es gilt dann [mm] $f^{- 1}(\Omega') [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in \Omega' \} [/mm] = [mm] \Omega$, [/mm] weil $f$ alle [mm] $\omega \in \Omega$ [/mm] auf Elemente von [mm] $\Omega'$ [/mm] abbildet.
Folglich ist [mm] $\Omega \in [/mm] F(f)$.
z.z. $A [mm] \in [/mm] F(f) [mm] \Rightarrow A^{c} \in [/mm] F(f)$
Sei $A [mm] \in [/mm] F(f)$. Dann gibt es ein $B [mm] \in [/mm] F'$ mit $A = [mm] f^{- 1}(B) [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in B \}$.
[/mm]
Ich zeige, dass [mm] $A^{c} \in [/mm] F(f)$.
Da $F'$ eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega'$ [/mm] ist, gilt [mm] $B^{c} \in [/mm] F'$.
Und es ist [mm] $f^{- 1}(B^{c}) [/mm] = [mm] A^{c}$ [/mm] (muss ich das näher erläutern ?)
Also ist [mm] $A^{c} \in [/mm] F(f)$.
z.z.: [mm] $A_{1}, A_{2}, \ldots \in [/mm] F(f) [mm] \Rightarrow \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in [/mm] F(f)$
Betrachte eine Folge [mm] $(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ [/mm] in $F(f)$.
Wir zeigen, dass [mm] $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in [/mm] F(f)$
Da [mm] $A_{1}, A_{2}, \ldots \in [/mm] F(f)$, existieren [mm] $B_{1}, B_{2}, \ldots \in [/mm] F'$ mit
[mm] $A_{1} [/mm] = [mm] f^{- 1}(B_{1}) [/mm] = [mm] f^{- 1}(B) [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in B_{1} \}$
[/mm]
[mm] $A_{2} [/mm] = [mm] f^{- 1}(B_{2}) [/mm] = [mm] f^{- 1}(B) [/mm] = [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in B_{2} \}$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
Außerdem sind die [mm] $B_{1}, B_{2}, \ldots$ [/mm] paarweise disjunkt, aufgrund der Definition von [mm] $f^{- 1} (B_{i})$.
[/mm]
Nach Voraussetzung ist $F'$ eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra in [mm] $\Omega'$, [/mm] d.h. es gilt [mm] $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \in [/mm] F'$.
Es gilt dann [mm] $f^{- 1} \left ( \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \right [/mm] ) = [mm] \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}$. [/mm]
Bedarf diese Gleichheit auch eine nähere Erklärung ?
Folglich ist dann [mm] $\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n} \in [/mm] F(f)$
Insgesamt ist $F(f)$ eine [mm] $\sigma$ [/mm] - Algebra auf [mm] $\Omega$.
[/mm]
Stimmt die a) bis hierhin ?
Die b) funktioniert bestimmt ähnlich. Ich denke, die bekomme ich auch hin, falls die a) richtig ist.
Nur bei der c) habe ich keine Vorstellung, wie ich sie angehen kann.
$F-F'$ - messbare Funktionen sind so definiert:
Seien [mm] $(\Omega, [/mm] F)$ und [mm] $(\Omega', [/mm] F')$ Messräume.
Eine Abbildung $f: [mm] \Omega \rightarrow \Omega'$ [/mm] heißt $F-F'$ - messbar, falls
[mm] $f^{- 1}(A') [/mm] := [mm] \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in A' \} \in F\quad \forall [/mm] A' [mm] \in [/mm] F'$
Hat jemand einen Tipp, wie ich die $F-F'$ - Messbarkeit von $f$ in Termen von $F(f)$, sowie in Termen von $ G' $ ausdrücken kann ?
Gruß, Anni
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Und es ist [mm]f^{- 1}(B^{c}) = A^{c}[/mm] (muss ich das näher erläutern ?)
Das kommt darauf an, was ihr schon gezeigt habt.
Im Normalfall kann man die Rechengesetze für Urbilder aber als bereits gezeigt voraussetzen.
> Außerdem sind die [mm]B_{1}, B_{2}, \ldots[/mm] paarweise disjunkt, aufgrund der Definition von [mm]f^{- 1} (B_{i})[/mm].
Nein, das wären sie nur, wenn die [mm] A_i [/mm] disjunkt wären. Sind sie aber nicht notwendigerweise, d.h. die [mm] B_i [/mm] auch nicht… macht aber nix, wenn du dir deinen Beweis anschaust, du willst schließlich kein Maß beweisen.
> Es gilt dann [mm]f^{- 1} \left ( \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} B_{n} \right ) = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} A_{n}[/mm].
>
> Bedarf diese Gleichheit auch eine nähere Erklärung ?
Hier gilt das gleiche wie oben.
Vielleicht schreibst du einfach am Anfang der Aufgabe einen Satz dazu, dass du die gängigen Rechenregeln für Urbilder voraussetzt.
> Stimmt die a) bis hierhin ?
Bis auf obiges gesagte wäre sie damit sogar fertig.
> Die b) funktioniert bestimmt ähnlich. Ich denke, die
> bekomme ich auch hin, falls die a) richtig ist.
Ja, die b) läuft analog.
> Nur bei der c) habe ich keine Vorstellung, wie ich sie angehen kann.
> Eine Abbildung [mm]f: \Omega \rightarrow \Omega'[/mm] heißt [mm]F-F'[/mm] -
> messbar, falls
>
> [mm]f^{- 1}(A') := \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in A' \} \in F\quad \forall A' \in F'[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich schreib das mal analog zu den Definitionen der Aufgabe, streiche unnötiges weg und stell die Quantoren etwas um:
[mm]\forall B \in F':\; f^{- 1}(B) \in F[/mm]
Jetzt übersetzt das aber mal in einen Ausdruck, wo stattdessen $F(f)$ vorkommt.
Dazu überleg dir: Welche Elemente aus $F(f)$ bekomme ich denn mit [mm]\forall B \in F':\; f^{- 1}(B) [/mm]
Gruß,
Gono
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Hey!
Danke für deine Korrektur.
Ich werde sicherheitshalber meine Schritte mit den Urbildern bei a) begründen.
> > Nur bei der c) habe ich keine Vorstellung, wie ich sie
> angehen kann.
>
> > Eine Abbildung [mm]f: \Omega \rightarrow \Omega'[/mm] heißt [mm]F-F'[/mm] -
> > messbar, falls
> >
> > [mm]f^{- 1}(A') := \{ \omega \in \Omega\; \vert \; f(\omega) \in A' \} \in F\quad \forall A' \in F'[/mm]
>
>
> Ich schreib das mal analog zu den Definitionen der
> Aufgabe, streiche unnötiges weg und stell die Quantoren
> etwas um:
>
> [mm]\forall B \in F':\; f^{- 1}(B) \in F[/mm]
>
> Jetzt übersetzt das aber mal in einen Ausdruck, wo
> stattdessen [mm]F(f)[/mm] vorkommt.
> Dazu überleg dir: Welche Elemente aus [mm]F(f)[/mm] bekomme ich
> denn mit [mm]\forall B \in F':\; f^{- 1}(B)[/mm]
Aha, es geht ein Licht auf!
Also, wir haben hier die Mengen
$F(f) = [mm] \{ f^{- 1}(B) \; \vert \; B \in F' \}$ [/mm] und
$G' = [mm] \{B \in F' \; \vert \; f^{- 1} (B) \in F \}$
[/mm]
$F(f)$ enthält alle [mm] $f^{- 1}(B)$ [/mm] mit $B [mm] \in [/mm] F'$. Das heißt, ich schnappe mir jedes $B [mm] \in [/mm] F'$ und betrachte das Urbild davon.
Nun ist es ja so, dass [mm] $f^{- 1}(B)$ [/mm] nicht unbedingt in $F$ liegen muss, sondern z.B. in [mm] $P(\Omega) \setminus [/mm] F$.
Damit [mm] $f^{-1}(B) \in F\quad \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] F'$ gelten kann, muss $F(f) [mm] \subseteq [/mm] F$.
Also: [mm] $f^{-1}(B) \in F\quad \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] F' [mm] \Leftrightarrow [/mm] F(f) [mm] \subseteq [/mm] F$
$G'$ enthält alle $B [mm] \in [/mm] F'$ mit [mm] $f^{- 1}(B) \in [/mm] F$. Das heißt, ich betrachte alle $B [mm] \in [/mm] F'$, deren Urbilder in $F$ liegen.
Nun kann es natürlich sein, dass es auch $B [mm] \in [/mm] F'$ gibt, mit [mm] $f^{- 1}(B) \in P(\Omega) \setminus [/mm] F$.
Damit [mm] $f^{-1}(B) \in F\quad \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] F'$ gelten kann, muss $G' = F'$ gelten.
Also: [mm] $f^{-1}(B) \in F\quad \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] F' [mm] \Leftrightarrow [/mm] G' = F'$
Und damit haben wir insgesamt:
[mm] $f^{-1}(B) \in F\quad \forall [/mm] B [mm] \in [/mm] F' [mm] \Leftrightarrow [/mm] F(f) [mm] \subseteq [/mm] F [mm] \Leftrightarrow [/mm] G' = F' $
Ist das in der Aufgabe gefragt ? Oder erwartet man doch was anderes ?
Gruß,
Anni
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Hiho,
> Und damit haben wir insgesamt:
>
> [mm]f^{-1}(B) \in F\quad \forall B \in F' \Leftrightarrow F(f) \subseteq F \Leftrightarrow G' = F'[/mm]
> Ist das in der Aufgabe gefragt ? Oder erwartet man doch was anderes ?
Ich kann zwar nur raten, was der Aufgabensteller erwartet, aber so würde ich die Aufgabe lösen.
Gruß,
Gono
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Super, da bin ich froh darüber.
Zausend Dank für deine Hilfe!
Gruß, Anni
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