FT von sym. Funktionen < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Sei [mm] f\in L_{1}(\IR^{n}) [/mm] eine symmetrischen Funktion, d.h.f(x)=f(-x) für alle [mm] x\in\IR^{n}, [/mm] und [mm] g\in L_{1}(\IR^{n}) [/mm] eine antisymmetrische Funktion, also g(x)=-g(-x) für alle [mm] x\in\IR^{n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierten Ff reellwertig (Bez.: Kosinustransformierte) und Fg rein imaginär (Bez.: Sinustransformierte) sind. |
Hallo!
So wirklich stichhaltiges ist mir zu dieser Aufgabe noch nicht eingefallen.
Ich würde bis jetzt so argumentieren:
Wenn ich eine achsensymmetrische Funktion mit f(x)=f(-x) betrachte und dann den Cosinus bzw. den Sinus betrachte, dann sieht man, dass der Cosinus an der Stelle 0 ungleich 0 ist und ebenfalls achsensymmetrisch, wo hingegen der Sinus punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist und an der Stelle 0 gleich 0 ist.
Da eine Achsensymmetrische Funktion an der Stelle 0 Funktionswerte verschieden von 0 annehmen kann und aus der punktsymmetrie der Sinusfunktion, kann man darauf schließen, dass die Sinustransformierte 0 ergibt und nur die Cosinustransformierte einen Beitrag leistet.
Reicht diese Argumentation schon aus, oder kann man das ganze noch stichhaltiger zeigen?
PS: ich habe irgendwo gelesen, dass die Cosinustransformierte einer achsensymmetrischen Funktion [mm] F(\omega)_{cos}=\integral_{-\infty}^{\infty}{A(\omega)*cos(\omega*t)dt}=\wurzel{\pi}*e^{-\bruch{1}{4}*\omega^{2}} [/mm] ist. Die Funktion f(t) war nicht angegeben. Ist das ein allgemeines Ergebnis einer achsensymmetrischen Funktion? Wenn ja, wie kommt man darauf?
Mfg
Doc
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Mi 08.06.2011 | | Autor: | fred97 |
Es ist
$ [mm] \mathcal{F}(f)(t) [/mm] = [mm] \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\IR^{n}} f(x)\,e^{-\mathrm{i} t x} \,\mathrm{d} [/mm] x. $
Ist nun f(x)=f(-x) für alle $ [mm] x\in\IR^{n}, [/mm] $ so zeige:
$ [mm] \mathcal{F}(f)(t)= \overline{ \mathcal{F}(f)(t)}$
[/mm]
Fang so an:
$ [mm] \overline{ \mathcal{F}(f)(t)}= \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\IR^{n}} f(x)\,e^{\mathrm{i} t x} \,\mathrm{d} [/mm] x. $
Jetzt substituiere [mm] $\xi=-x$
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:25 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Docci |
Hallo fred!
Vielen Dank für deine Antwort, leider komme ich immernoch nicht wirklich weiter. Mir fehlt auch noch etwas das Verständnis. Was bedeutet es denn, wenn die inverse Fouriertransformation gleich der Fouriertransformation einer Funktion aus dem [mm] L_{1}(\IR^{n}) [/mm] ist?
Die Gleichung [mm] \overline{\mathcal{F}(f)(t)}=\mathcal{F}(f)(t) [/mm] konnte ich auch noch nicht wirklich zeigen.
Mit der Substitution [mm] \xi=-x [/mm] kann man auf [mm] \overline{\mathcal{F}(f)(t)}=-\bruch{1}{(2\pi)^{\bruch{n}{2}}}\integral_{\IR^{n}}^{}{f(\xi)*e^{-it\xi} d\xi} [/mm] umstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Fr 10.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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