F, K Körper und F∪K kein Körpe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Geben Sie zwei Körper F und K, so dass K∪F kein Körper ist. |
Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe, da ich nicht weiß, wie eine solche Vereinigung aussieht. Mir ist nur bewusst, dass F⊄K und K⊄F gelten muss. Kann mir vielleicht jemand erklären, wie man herausfindet wie die Vereingung von 2 Körpern aussieht? Dann sollte die Aufgabe ja lösbar sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Di 20.12.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Nenne zuerst einfach irgendwelche zwei Körper, die nicht ineinander enthalten sind.
Übrigens erscheint mir die Aufgabestellung als sehr ungenau.
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> Nenne zuerst einfach irgendwelche zwei Körper, die nicht
> ineinander enthalten sind.
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> Übrigens erscheint mir die Aufgabestellung als sehr
> ungenau.
Vielen Dank für die nette Begrüßung!!
Müsste das nicht schon für k=ℤ/2 und F=ℤ/3 gelten?
Die Aufgabenstellung steht so bei uns in einem alten Arbeitsblatt und ich wollte das jetzt endlich mal verstehen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Di 20.12.2016 | | Autor: | hippias |
O.K. Sei $U:= [mm] F\cup [/mm] K$. Obwohl es zwar möglich ist, auf $U$ eine Körperstruktur zu definieren, dürfte sich der Aufgabensteller folgendes gedacht haben: zwischen den Restklassen [mm] $1+2\IZ$ [/mm] und [mm] $1+3\IZ$ [/mm] ist gar keine Verknüpfung definiert ("man kann die Restklassen nicht addieren"), folglich ist $U$ kein Körper
Aber höchstwahrscheinlich wurde an so etwas gedacht: Man nehme z.B. die Körper [mm] $\IQ[\sqrt{2}]$ [/mm] und [mm] $\IQ[\sqrt{3}]$. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ [/mm] liegt nicht in der Vereinigung, wenn man die herkömmliche Addition der reellen Zahlen zugrunde legt. Folglich ist die Menge nicht abgeschlossen bezüglich Addition, sodass kein Körper vorliegt.
Zusatzfrage: Könnte man sich eine neue Addition und Multiplikation erfinden, sodass diese Vereinigung doch ein Körper ist?
Ohne etwas über die Verknüpfungen zu sagen, ist die Aufgabenstellung unbefriedigend.
Vereinigt man die Mengen [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] so erhält man eine Menge mit $10$ Elementen; auf einer solchen gibt es keine Addition und Multiplikation, bezüglich derer die Menge ein Körper ist, da die Ordnung eines endlichen Körpers stets eine Primzahlpotenz ist.
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Erstmal vielen Dank!!
> O.K. Sei [mm]U:= F\cup K[/mm]. Obwohl es zwar möglich ist, auf [mm]U[/mm]
> eine Körperstruktur zu definieren, dürfte sich der
> Aufgabensteller folgendes gedacht haben: zwischen den
> Restklassen [mm]1+2\IZ[/mm] und [mm]1+3\IZ[/mm] ist gar keine Verknüpfung
> definiert ("man kann die Restklassen nicht addieren"),
> folglich ist [mm]U[/mm] kein Körper
Ich habe mich genau das die ganze Zeit gefragt und wusste nicht was ich jetzt daraus schließen soll. Ich wusste nicht wie ich zeigen soll das es kein Körper ist, wenn ich keine Verknüpfung gegeben habe...
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> Aber höchstwahrscheinlich wurde an so etwas gedacht: Man
> nehme z.B. die Körper [mm]\IQ[\sqrt{2}][/mm] und [mm]\IQ[\sqrt{3}][/mm].
> [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm] liegt nicht in der Vereinigung, wenn man
> die herkömmliche Addition der reellen Zahlen zugrunde
> legt. Folglich ist die Menge nicht abgeschlossen bezüglich
> Addition, sodass kein Körper vorliegt.
Das klingt einleuchtend. Aber dürfen wir einfach von der herkömmlichen Addition der reellen Zahlen ausgehen als Verknüpfung?
> Zusatzfrage: Könnte man sich eine neue Addition und
> Multiplikation erfinden, sodass diese Vereinigung doch ein
> Körper ist?
Damit bin ich leider gerade überfordert. Müsste ich dafür die ORdnung der Vereinigung bestimmen und dann überprüfen, ob sie eine Primzahlpotenz ist?
> Ohne etwas über die Verknüpfungen zu sagen, ist die
> Aufgabenstellung unbefriedigend.
>
Wir haben die Aufgabe leider genau so gestellt bekommen...
> Vereinigt man die Mengen [mm]\IZ/3\IZ[/mm] und [mm]\IZ/7\IZ[/mm] so erhält
> man eine Menge mit [mm]10[/mm] Elementen; auf einer solchen gibt es
> keine Addition und Multiplikation, bezüglich derer die
> Menge ein Körper ist, da die Ordnung eines endlichen
> Körpers stets eine Primzahlpotenz ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Di 20.12.2016 | | Autor: | Keinstein |
Ich muss jetzt schluss machen für heute, schreibe morgen abend wieder und vielen Dank für die schnellen und hilfreichen Antworten!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:30 Mi 21.12.2016 | | Autor: | hippias |
> Erstmal vielen Dank!!
> > O.K. Sei [mm]U:= F\cup K[/mm]. Obwohl es zwar möglich ist, auf [mm]U[/mm]
> > eine Körperstruktur zu definieren, dürfte sich der
> > Aufgabensteller folgendes gedacht haben: zwischen den
> > Restklassen [mm]1+2\IZ[/mm] und [mm]1+3\IZ[/mm] ist gar keine Verknüpfung
> > definiert ("man kann die Restklassen nicht addieren"),
> > folglich ist [mm]U[/mm] kein Körper
>
> Ich habe mich genau das die ganze Zeit gefragt und wusste
> nicht was ich jetzt daraus schließen soll. Ich wusste
> nicht wie ich zeigen soll das es kein Körper ist, wenn ich
> keine Verknüpfung gegeben habe...
> >
> > Aber höchstwahrscheinlich wurde an so etwas gedacht: Man
> > nehme z.B. die Körper [mm]\IQ[\sqrt{2}][/mm] und [mm]\IQ[\sqrt{3}][/mm].
> > [mm]\sqrt{2}+\sqrt{3}[/mm] liegt nicht in der Vereinigung, wenn man
> > die herkömmliche Addition der reellen Zahlen zugrunde
> > legt. Folglich ist die Menge nicht abgeschlossen bezüglich
> > Addition, sodass kein Körper vorliegt.
>
> Das klingt einleuchtend. Aber dürfen wir einfach von der
> herkömmlichen Addition der reellen Zahlen ausgehen als
> Verknüpfung?
Ich vermute: ja. Doch ist die Aufgabenstellung zu unklar gestellt, um eine klare Antwort zu geben.
Wenn man völlig frei eine neue Körperstruktur auf der Vereinigung definieren darf, die nichts der ursprünglichen Körperstrukturen zu tun haben braucht, dann könnte man die Vereinigung zu einem Körper machen. Wird aber gefordert - und ich vermute, dass es so zu verstehen ist - dass $F$ und $K$ Teilkörper der Vereinigung sein sollen, dann kann man leicht Widersprüche herleiten.
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> > Zusatzfrage: Könnte man sich eine neue Addition und
> > Multiplikation erfinden, sodass diese Vereinigung doch ein
> > Körper ist?
>
> Damit bin ich leider gerade überfordert. Müsste ich
> dafür die ORdnung der Vereinigung bestimmen und dann
> überprüfen, ob sie eine Primzahlpotenz ist?
S.o. Ich habe auch keine Antwort erwartet, wollte nur einen Denkanstoss geben.
>
> > Ohne etwas über die Verknüpfungen zu sagen, ist die
> > Aufgabenstellung unbefriedigend.
> >
> Wir haben die Aufgabe leider genau so gestellt
> bekommen...
Das glaube ich.
>
> > Vereinigt man die Mengen [mm]\IZ/3\IZ[/mm] und [mm]\IZ/7\IZ[/mm] so erhält
> > man eine Menge mit [mm]10[/mm] Elementen; auf einer solchen gibt es
> > keine Addition und Multiplikation, bezüglich derer die
> > Menge ein Körper ist, da die Ordnung eines endlichen
> > Körpers stets eine Primzahlpotenz ist.
> >
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So ich habe heute mal nachgefragt und anscheindend sollen die Körper K und F Unterkörper von einem Körper M sein. Dadurch sollte ja das Beispiel mit ℚ(√3) und ℚ(√2) am besten geeignet sein. Man Argumentiert doch dann, dass √2+√3 nicht in ℚ(√2) und auch nicht in ℚ(√3) und deswegen auch nicht in der vereinigung oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 22.12.2016 | | Autor: | hippias |
Richtig.
Ein Tipp zum Schluss: Nutze Latex!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 20.12.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geben Sie zwei Körper F und K, so dass K∪F kein Körper
> ist.
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> Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe, da ich nicht weiß,
> wie eine solche Vereinigung aussieht. Mir ist nur bewusst,
> dass F⊄K und K⊄F gelten muss. Kann mir vielleicht
> jemand erklären, wie man herausfindet wie die Vereingung
> von 2 Körpern aussieht? Dann sollte die Aufgabe ja lösbar
> sein.
zum Sinngehalt der Aufgabenstellung:
siehe hier (klick mich!)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:51 Di 20.12.2016 | | Autor: | Keinstein |
Danke für den Hinweis!!
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