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| Aufgabe | Im Vektorraum [mm] \IQ^{3} [/mm] sei der Untervektorraum
U = [mm] [\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }]
[/mm]
gegeben. Damit werde der Faktorraum [mm] \IQ^3/U [/mm] gebildet.
b) Bestimmen Sie eine Basis B von [mm] \IQ^3/U. [/mm] |
Als Lösung sind (1, 0, 0) und (0, 1, 0 ) gegeben. Warum sind diese beide als Basis gewält?
Können (0, 1, 0 ) und (0, 0, 1 ) eine Alternative Lösung sein oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Do 09.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Im Vektorraum [mm]\IQ^{3}[/mm] sei der Untervektorraum
>
> U = [mm][\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }][/mm]
>
> gegeben. Damit werde der Faktorraum [mm]\IQ^3/U[/mm] gebildet.
>
> b) Bestimmen Sie eine Basis B von [mm]\IQ^3/U.[/mm]
> Als Lösung sind (1, 0, 0) und (0, 1, 0 ) gegeben. Warum
> sind diese beide als Basis gewält?
Die Lösung ist nicht richtig !
Eine Basis von [mm]\IQ^3/U[/mm] wäre
$(1, 0, 0)+U, (0, 1, 0 )+U$
>
> Können (0, 1, 0 ) und (0, 0, 1 ) eine Alternative Lösung
> sein oder nicht?
Richtig ist
$(0, 1, 0)+U, (0, 0, 1 )+U$
>
Allgemein gilt:
Ist V ein endlichdim. Vektorraum über dem Körper K und U ein Untervektorraum von V, so verschaffe Dir einen Komplementärraum W zu U, also
$V = U [mm] \oplus [/mm] W$
Ist nun [mm] b_1, ,,,b_k [/mm] eine Basis von W, so ist
[mm] b_1+U, [/mm] ..., [mm] b_k+U
[/mm]
eine basis vonV/U
FRED
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Danke für die Antwort.
So viel ich weis, ist ein Basis ein Vektor.
Du hast aber für jedes Basis ein Vektorraum + ein Vektor gegeben.
Stimmt das??
Kannst du auch erzeählen was [mm] \IQ^3/U [/mm] als Faktorraum ist. Dies ist mir nicht so ganz klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum
FRED
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> So viel ich weis, ist ein Basis ein Vektor.
Hallo,
nein, das ist falsch: eine Basis ist eine Menge von Vektoren.
Die Elemente einer Basis sind also Vektoren.
Ich rate Dir, diesbezüglich wirklich sehr auf das zu achten, was Du sprichst, denn Du willst Dich ja nicht am Ende selbst durcheinanderbringen.
> Du hast aber für jedes Basis ein Vektorraum + ein Vektor
> gegeben.
> Stimmt das??
Ich vermute, daß Du überhaupt nicht verstanden hast, was ein Vektor ist:
ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes, nicht mehr und nicht weniger.
Wenn ich einen VR habe, der aus Katzen und Türklinken besteht (frag bitte nicht, wie die Verknüpfungen lauten...), dann sind meine Vektoren Katzen und Türklinken, und folglich sind die Basisvektoren ebenfalls Katzen oder Türklinken.
Der Faktorraum besteht halt aus Elementen einer ganz besonderen Machart (die Du gründlich studieren solltest), und von dieser Machart sind natürlich auch seine Basiselemente.
Gruß v. Angela
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> Kannst du auch erzeählen was [mm]\IQ^3/U[/mm] als Faktorraum ist.
> Dies ist mir nicht so ganz klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Fr 10.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich einen VR habe, der aus Katzen und Türklinken
> besteht (frag bitte nicht, wie die Verknüpfungen
> lauten...),
.......... aber was der Nullvektor ist, interessiert mich schon, Garfield ?
Gruß FRED
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Logisch. Danke habe ich grad besser verstanden : )
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