Faktorring - Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring |
Hallo Leute,
und zwar geht es um das 3. Beispiel in dem Wikipediaartikel. Wie kann ich mir [mm] \IR[X]/X^2+1 [/mm] vorstellen? So wie ich es verstanden habe, wurde der Polynomring durch das Ideal zu einem Körper aufgewertet, der zu den komplexen Zahlen isomorph ist. Nur wie stelle ich mir diesen Faktorring vor? Mit [mm] \IZ/n\IZ [/mm] ging das noch ganz gut, indem ich einfach modulo n rechne, aber wie sieht es hiermit aus?
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
das Problem liegt nicht im vorgestellten Faktorring, sondern in einer Grundannahme Deiner Fragestellung:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorring
> Hallo Leute,
>
> und zwar geht es um das 3. Beispiel in dem
> Wikipediaartikel. Wie kann ich mir [mm]\IR[X]/X^2+1[/mm] vorstellen?
Wieso muss man sich das vorstellen können? Ich bin in diesem Forum bestimmt einer von denen, der immer versucht, noch eine möglichst bildliche Erläuterung zu liefern, so dass man sich eine Aufgabenstellung oder Lösung möglichst noch "vorstellen" kann. Aber das ist eben nicht immer möglich.
> So wie ich es verstanden habe, wurde der Polynomring durch
> das Ideal zu einem Körper aufgewertet, der zu den
> komplexen Zahlen isomorph ist. Nur wie stelle ich mir
> diesen Faktorring vor? Mit [mm]\IZ/n\IZ[/mm] ging das noch ganz gut,
> indem ich einfach modulo n rechne, aber wie sieht es
> hiermit aus?
Im Prinzip genauso. Du rechnest einfach modulo [mm] X^2+1. [/mm] Da kommt immer ein lineares (oder konstantes) Polynom heraus. Das ist der Rest der Polynomdivision durch [mm] X^2+1. [/mm] Bei [mm] X^5+3X^4-2X^3+5X^2-4X+6 [/mm] also -X+4.
Vorstellen kannst Du Dir das genauso gut (oder schlecht) wie die Menge der komplexen Zahlen. Dabei entspricht der Koeffizient vor dem X dem Imaginärteil, das absolute Glied dem Realteil einer komplexen Zahl.
Es wird aber mathematische Objekte geben, die Du Dir nicht mehr vorstellen kannst, deren Eigenschaften aber dennoch genau zu beschreiben bzw. zu untersuchen sind.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ah, ich verstehe, also ich teile durch [mm] X^2+1 [/mm] und schreibe den Rest auf mit:
..... mod [mm] X^2+1
[/mm]
Ok!
In dem Artikel steht als Beispiel noch, dass [mm] X^2 [/mm] und -1 in der gleichen Äquivalenzklasse liegen, was mir nicht einleuchtet.
Ansich muss ich doch einfach [mm] X^2 [/mm] und -1 durch [mm] X^2+1 [/mm] teilen oder?
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Hallo nochmal,
> Ah, ich verstehe, also ich teile durch [mm]X^2+1[/mm] und schreibe
> den Rest auf mit:
>
> ..... mod [mm]X^2+1[/mm]
>
> Ok!
>
> In dem Artikel steht als Beispiel noch, dass [mm]X^2[/mm] und -1 in
> der gleichen Äquivalenzklasse liegen, was mir nicht
> einleuchtet.
>
> Ansich muss ich doch einfach [mm]X^2[/mm] und -1 durch [mm]X^2+1[/mm] teilen
> oder?
Ja, ok. Beide lassen den Rest -1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 13.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke, sehe ich ein.
Letzte Sache noch. Hättest du vielleicht ein anderes einfacher Beispiel, wo man aus einem Ring und einem Ideal einen Körper baut?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mo 13.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Körper bekommst du für jede Primzahl p, wenn du [mm] \IZ/p\IZ [/mm] betrachtest. Oder wenn [mm] \IK [/mm] ein Körper ist und du [mm] \IK[x]/(P(x)) [/mm] betrachtest, wobei $P$ irreduzibel (=prim in dem Fall) ist. Das hast du auch eben anhand von [mm] \IK=\IR [/mm] und [mm] P(x)=x^2+1 [/mm] gesehenen, aber es geht auch noch allgemeiner.
Es gibt nämlich den folgenden Satz: (auch in Analogie zu einer deiner anderen Fragen)
Sei $R$ ein kommutativer Ring mit 1, $I$ ein Ideal. Dann gilt R/I Körper [mm] \gdw [/mm] I maximales Ideal. Und [mm] $(x^2+1), [/mm] (p)$ sind z.B. maximale Ideale.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Di 14.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, danke!
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