Faktorvariable < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Angenommen, Sie haben eine Faktorvariable $A$ mit $k=4$ Gruppen und eine normalverteilte Zielgröße, die die Annahmen [mm] $Y_i=\theta_{A_i}+U_i$ [/mm] mit unabhängigen [mm] $U_i\sim N(0,\sigma^2), i=1,\ldots,n$ [/mm] erfüllt. Nehmen Sie weiter an, dass [mm] $\theta_1=\theta_2=\theta_4$ [/mm] und dass [mm] $\theta_4$ [/mm] beliebig ist. Bestimmen Sie die multivariate Verteilung von [mm] $(\bar{Y_1}-\bar{Y_2}, \bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3}$. [/mm] |
Nabend,
ich weiß nicht so wirklich, wie ich das machen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Fr 27.06.2014 | | Autor: | luis52 |
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> Nabend,
Was ist denn das?
>
> ich weiß nicht so wirklich, wie ich das machen kann.
>
Und ich weiss nicht so wirklich, wie man helfen soll, wenn
keinerlei Vorueberlegungen angestellt werden ...
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Hallo,
es ist keine böse Absicht, dass ich keine eigenen Ansätze habe; ich weiß einfach nicht, wie ich anfangen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Fr 27.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Angenommen, Sie haben eine Faktorvariable [mm]A[/mm] mit [mm]k=4[/mm] Gruppen
> und eine normalverteilte Zielgröße, die die Annahmen
> [mm]Y_i=\theta_{A_i}+U_i[/mm] mit unabhängigen [mm]U_i\sim N(0,\sigma^2), i=1,\ldots,n[/mm]
> erfüllt. Nehmen Sie weiter an, dass
> [mm]\theta_1=\theta_2=\theta_4[/mm] und dass [mm]\theta_4[/mm] beliebig ist.
> Bestimmen Sie die multivariate Verteilung von
> [mm](\bar{Y_1}-\bar{Y_2}, \bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3}[/mm].
Irgendwie passt das nicht. Wieso *eine* normalverteilte Zielgröße? Was ist [mm] $\theta_{A_i}$? [/mm] Unten ist von [mm] $\theta_1,\theta_2,\theta_3,\theta_4$ [/mm] die Rede.
Bitte formuliere deine Frage etwas genauer.
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Hallo,
ich hoffe, ich kann es etwas besser formulieren.
Also der Hintergrund ist dieser hier:
Wir betrachten die Situation, in der mehrere Gruppen in Hinblick auf eine normalverteilte Zielgröße verglichen werden sollen. Wir gehen dabei von n unabhängigen Beobachtungen [mm] $Y_1, [/mm] ..., [mm] Y_n$ [/mm] einer Zielvariable Y aus, die von Individuen aus k verschiedenen Gruppen stammen. Die Gruppenzugehörigkeit kann durch eine Kovariable $A$ beschrieben werden, die die Werte $1, ..., k$ annimmt, sodass [mm] $A_i=l$ [/mm] bedeutet, dass das i-te Individuum der l-ten Gruppe entstammt. Man nennt die Kovariable A einen Faktor.
Zur Untersuchung der k Gruppen betrachten wir das lineare Modell
[mm] $Y_i=\theta_{A_i} [/mm] + [mm] U_i=\theta_1 \chi_{A_i=1} [/mm] + ... + [mm] \theta_k \chi_{A_i=k}, [/mm] i=1,...,n.$
mit [mm] $U=(U_1,...,U_n)^T\sim N(0,\sigma^2 I_n)$, [/mm] wobei [mm] $\theta_l$ [/mm] der Erwartungswert der Beobachtungen in der l-ten Gruppe ist.
Manchmal wird dies auch anders ausgedrückt: Hierzu indiziert man die Beobachtung nicht global, sondern innerhalb der Gruppen zusammen mit einem zweiten Gruppenindex, nämlich $Y_(ij)$ mit $j=1,...,k$ für die Gruppe und [mm] $i=1,...,n_j$ [/mm] für das i-te Individuum in der j-ten Gruppe. Dann schreibt sich dies als
[mm] $Y_{ij}=\theta_j [/mm] + [mm] U_i, [/mm] j=1,...,k, [mm] i=1,...,n_j$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:12 Sa 28.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Ah, endlich. Und schoen zu erfahren, dass du mit $ [mm] U=(U_1,...,U_n)^T\sim N(0,\sigma^2 I_n) [/mm] $ anscheinend etwas anfangen kannst...
Wenn sich kein anderer der Chose annimmt, schaue ich mir das spaeter mal genauer an.
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Hallo,
ich entschuldige mich nochmal, dass ich die benötigten Informationen so häppchenweise gegeben habe.
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Mittlerweile habe ich mir auch noch versucht, ein paar Gedanken zu machen:
Ich denke, dass
[mm] $\bar{Y_1}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}Y_{i1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow E(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}E(Y_{i1})=\frac{1}{n_1}n_1\theta_1=\theta_1$
[/mm]
sowie
[mm] $\text{Var}(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}\text{Var}(Y_{i1})=\frac{1}{n_1^2}n_1\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n_1}$.
[/mm]
Da die Zielvariable normalverteilt sein soll, bedeutet das wohl [mm] $\bar{Y_1}\sim N(\theta_1,\sigma^2n_1^{-1})$.
[/mm]
Analog folgt dann wohl auch [mm] $\bar{Y_2}\sim N(\theta_2,\sigma^2n_2^{-1})$ [/mm] und [mm] $\bar{Y_3}\sim N(\theta_3,\sigma^2n_3^{-1})$.
[/mm]
Sodass ich zwar noch nicht die multivariate Verteilung von [mm] $(\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})$ [/mm] herausgefunden habe, aber wohl immerhin, dass
[mm] $\bar{Y_1}-\bar{Y_2}\sim N(\theta_1-\theta_2,\sigma^2(n_1^{-1}+n_2^{-1}))$,
[/mm]
[mm] $\bar{Y_1}-\bar{Y_3}\sim N(\theta_1-\theta_3,\sigma^2(n_1^{-1}+n_3^{-1}))$
[/mm]
und
[mm] $\bar{Y_2}-\bar{Y_3}\sim N(\theta_2-\theta_3,\sigma^2(n_2^{-1}+n_3^{-1}))$.
[/mm]
Ich könnte mir vorstellen, dass dies weiterhelfen kann?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Sa 28.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Hallo,
>
> ich entschuldige mich nochmal, dass ich die benötigten
> Informationen so häppchenweise gegeben habe.
Schwamm drueber. 
>
> ----
>
> Mittlerweile habe ich mir auch noch versucht, ein paar
> Gedanken zu machen:
Brav.
>
> Ich denke, dass
>
> [mm]\bar{Y_1}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}Y_{i1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow E(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}E(Y_{i1})=\frac{1}{n_1}n_1\theta_1=\theta_1[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> sowie
>
> [mm]\text{Var}(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}\text{Var}(Y_{i1})=\frac{1}{n_1^2}n_1\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n_1}[/mm].
>
Aber wieso?
> Da die Zielvariable normalverteilt sein soll, bedeutet das
> wohl [mm]\bar{Y_1}\sim N(\theta_1,\sigma^2n_1^{-1})[/mm].
Auch das stimmt, aber wieso?
>
> Analog folgt dann wohl auch [mm]\bar{Y_2}\sim N(\theta_2,\sigma^2n_2^{-1})[/mm]
> und [mm]\bar{Y_3}\sim N(\theta_3,\sigma^2n_3^{-1})[/mm].
>
> Sodass ich zwar noch nicht die multivariate Verteilung von
> [mm](\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})[/mm]
> herausgefunden habe, aber wohl immerhin, dass
>
> [mm]\bar{Y_1}-\bar{Y_2}\sim N(\theta_1-\theta_2,\sigma^2(n_1^{-1}+n_2^{-1}))[/mm],
, aber s.o.
Du siehst, du musst noch etwas sauberer argumentieren. Wenn [mm] $\bar{Y_1}$ [/mm] und [mm] $\bar{Y_2}$ [/mm] normalverteilt sind, folgt nicht notwendigerweise, dass [mm] $\bar{Y_1}-\bar{Y_2}$ [/mm] normalverteit sind. Ist es aber, weil ...
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> > Hallo,
> >
> > ich entschuldige mich nochmal, dass ich die benötigten
> > Informationen so häppchenweise gegeben habe.
>
> Schwamm drueber.
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> >
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> >
> > Mittlerweile habe ich mir auch noch versucht, ein paar
> > Gedanken zu machen:
>
> Brav.
>
> >
> > Ich denke, dass
> >
> > [mm]\bar{Y_1}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}Y_{i1}[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow E(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}E(Y_{i1})=\frac{1}{n_1}n_1\theta_1=\theta_1[/mm]
>
> >
>
>
> > sowie
> >
> >
> [mm]\text{Var}(\bar{Y_1})=\frac{1}{n_1^2}\sum_{i=1}^{n_1}\text{Var}(Y_{i1})=\frac{1}{n_1^2}n_1\sigma^2=\frac{\sigma^2}{n_1}[/mm].
> >
>
> Aber wieso?
Da die [mm] $Y_{i1}$ [/mm] als unabhängig angenommen werden.
>
> > Da die Zielvariable normalverteilt sein soll, bedeutet das
> > wohl [mm]\bar{Y_1}\sim N(\theta_1,\sigma^2n_1^{-1})[/mm].
>
> Auch das stimmt, aber wieso?
Da braucht man wieder die Unabhängigkeit der [mm] $Y_{i1}$ [/mm] und die Tatsache, dass die Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsgrößen ist ebenfalls normalverteilt.
>
> >
> > Analog folgt dann wohl auch [mm]\bar{Y_2}\sim N(\theta_2,\sigma^2n_2^{-1})[/mm]
> > und [mm]\bar{Y_3}\sim N(\theta_3,\sigma^2n_3^{-1})[/mm].
> >
> > Sodass ich zwar noch nicht die multivariate Verteilung von
> >
> [mm](\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})[/mm]
> > herausgefunden habe, aber wohl immerhin, dass
> >
> > [mm]\bar{Y_1}-\bar{Y_2}\sim N(\theta_1-\theta_2,\sigma^2(n_1^{-1}+n_2^{-1}))[/mm],
>
> , aber s.o.
>
> Du siehst, du musst noch etwas sauberer argumentieren. Wenn
> [mm]\bar{Y_1}[/mm] und [mm]\bar{Y_2}[/mm] normalverteilt sind, folgt nicht
> notwendigerweise, dass [mm]\bar{Y_1}-\bar{Y_2}[/mm] normalverteit
> sind. Ist es aber, weil ...
>
Mir ist allerdings noch nicht klar, wie ich nun die gemeinsame Verteilung bestimmen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Sa 28.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Gut, gut. Du weisst anscheinend mehr als du zeigst.
Also: Vielleicht ist dir dann auch die folgende Aussage gelaeufig: Ist [mm] $\mathbf{x}$ [/mm] $p$-variat normalverteilt und ist [mm] $\mathbf{A}$ [/mm] eine
$(q,p)$-Matrix vom Rang $q$, so ist [mm] $\mathbf{Ax}$ [/mm] $q$-dimensional normalverteilt.
Bestimme also eine Matrix [mm] $\mathbf{A}$, [/mm] so dass der fragliche Vektor die Form [mm] $\mathbf{Ax}$ [/mm] hat.
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Ich weiß nicht, ob du dies im Sinn hast, aber mein Vorgehen ist so:
Es gibt einen Satz, der besagt, dass [mm] $Z:=(Z_1,Z_2,Z_3)^T$ [/mm] genau dann multivariat normalverteilt ist, wenn $d^TZ$ für alle [mm] $d\in\mathbb{R}^3$ [/mm] normalverteilt ist.
Ich setze
[mm] $Z_1:=\bar{Y_1}-\bar{Y_2}$
[/mm]
[mm] $Z_2:=\bar{Y_1}-\bar{Y_3}$
[/mm]
[mm] $Z_3:=\bar{Y_2}-\bar{Y_3}$
[/mm]
und wähle ein beliebiges [mm] $d=(d_1,d_2,d_3)^T\in\mathbb{R}^3$.
[/mm]
Dann gilt
[mm] $d^TZ=d_1Z_1+d_2Z_2+d_3Z_3$.
[/mm]
Dies ist eine Linearkombination normalverteilter Zufallsgrößen und somit selbst normalverteilt.
Somit ist $Z$ multivariat normalverteilt.
Außerdem gilt [mm] $\text{Cov}(Z_i,Z_j)=0$ [/mm] für alle [mm] $i\neq [/mm] j$.
Somit folgt, dass [mm] $Z_1, Z_2$ [/mm] und [mm] $Z_3$ [/mm] unabhängig sind.
Mit anderen Worten:
[mm] $Z\sim N(\mu, [/mm] V)$ mit [mm] $\mu=(0,0,0)^T, V=\sigma^2\cdot\text{diag}(n_1^{-1},n_2^{-1},n_3^{-1})$.
[/mm]
Das dürfte also die gesuchte multivariate Verteilung sein.
Ist das korrekt?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Es ist dann noch gefragt:
Was lässt sich aus der ermittelten Verteilung von $(\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})$ über die gemeinsame Verteilung der t-Teststatistiken
$T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_2}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}}$,
$T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_3^{-1}}$ und
$T_{23}:=\frac{\bar{Y_2}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_2^{-1}+n_3^{-1}}$
der Hypothesen $H_0^{(ij)}: \theta_i=\theta_j, i<j\leqslant 3$, in Hinblick auf die Abhängigkeit von $\theta_4$ schließen?
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Offen gestanden: Ich verstehe nicht, was gemeint ist bzw. was gemacht werden soll.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:25 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Es ist dann noch gefragt:
>
> Was lässt sich aus der ermittelten Verteilung von
> [mm](\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})[/mm]
> über die gemeinsame Verteilung der t-Teststatistiken
>
> [mm]T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_2}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}}[/mm],
>
> [mm]T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_3^{-1}}[/mm]
Du meinst vermutlich [mm] T_{13}.
[/mm]
> und
>
> [mm]T_{23}:=\frac{\bar{Y_2}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_2^{-1}+n_3^{-1}}[/mm]
>
> der Hypothesen [mm]H_0^{(ij)}: \theta_i=\theta_j, i
Setze [mm] $z=(T_{12},T_{13},T_{23})^T$ [/mm] und verwende $z^Tz$.
> in Hinblick auf die Abhängigkeit von [mm]\theta_4[/mm] schließen?
Hier weiss ich nicht, was gemeint ist.
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> > Es ist dann noch gefragt:
> >
> > Was lässt sich aus der ermittelten Verteilung von
> >
> [mm](\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})[/mm]
> > über die gemeinsame Verteilung der t-Teststatistiken
> >
> >
> [mm]T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_2}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}}[/mm],
> >
> >
> [mm]T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_3^{-1}}[/mm]
>
> Du meinst vermutlich [mm]T_{13}.[/mm]
Ja, richtig.
>
> > und
> >
> >
> [mm]T_{23}:=\frac{\bar{Y_2}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_2^{-1}+n_3^{-1}}[/mm]
> >
> > der Hypothesen [mm]H_0^{(ij)}: \theta_i=\theta_j, i
>
> Setze [mm]z=(T_{12},T_{13},T_{23})^T[/mm] und verwende [mm]z^Tz[/mm].
>
Ich weiß nicht genau, wie ich das verwenden soll, wie meinst Du es?
Also [mm] $z^Tz=T_{12}^2+T_{13}^2+T_{23}^2$, [/mm] aber inwiefern ist das hilfreich?
>
> > in Hinblick auf die Abhängigkeit von [mm]\theta_4[/mm] schließen?
>
> Hier weiss ich nicht, was gemeint ist.
>
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich weiß nicht genau, wie ich das verwenden soll, wie
> meinst Du es?
>
> Also [mm]z^Tz=T_{12}^2+T_{13}^2+T_{23}^2[/mm], aber inwiefern ist
> das hilfreich?
>
Na, was spricht denn gegen die Nullhypothese?
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> >
> > Ich weiß nicht genau, wie ich das verwenden soll, wie
> > meinst Du es?
> >
> > Also [mm]z^Tz=T_{12}^2+T_{13}^2+T_{23}^2[/mm], aber inwiefern ist
> > das hilfreich?
> >
>
> Na, was spricht denn gegen die Nullhypothese?
Ich weiß gerade gar nicht, von welcher Nullhypothese bzw. von welchem Testproblem die Rede ist...
Ich scheine die Aufgabenstellung nicht zu verstehen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich weiß gerade gar nicht, von welcher Nullhypothese bzw.
> von welchem Testproblem die Rede ist...
>
> Ich scheine die Aufgabenstellung nicht zu verstehen...
Ich lese:
Was lässt sich aus der ermittelten Verteilung von $ (\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3}) $ über die gemeinsame Verteilung der t-Teststatistiken
$ T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_2}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}} $,
$ T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_3^{-1}} $ und
$ T_{23}:=\frac{\bar{Y_2}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_2^{-1}+n_3^{-1}} $
der Hypothesen $ H_0^{(ij)}: \theta_i=\theta_j, i<j\leqslant 3 $, in Hinblick auf die Abhängigkeit von $ \theta_4 $ schließen?
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Ja, aber das verstehe ich nicht, wie es gemeint ist.
Also ich verstehe es so, dass man die gemeinsame Verteilung von
[mm] $z=(T_{12},T_{13},T_{23})^T$ [/mm] bestimmen soll (unter der gemeinsamen Gültigkeit der drei Nullhypothesen [mm] $H_0^{(12)}: \theta_1=\theta_2, H_0^{(13)}: \theta_1=\theta_3, H_0^{(23)}: \theta_2=\theta_3$ [/mm] und dann sagen soll, inwiefern diese gemeinsame Verteilung von [mm] $\theta_4$ [/mm] abhängt.
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Ich habe nicht genau verstanden, wie du es liest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Also ich verstehe es so, dass man die gemeinsame Verteilung
> von
>
> [mm]z=(T_{12},T_{13},T_{23})^T[/mm] bestimmen soll (unter der
> gemeinsamen Gültigkeit der drei Nullhypothesen [mm]H_0^{(12)}: \theta_1=\theta_2, H_0^{(13)}: \theta_1=\theta_3, H_0^{(23)}: \theta_2=\theta_3[/mm]
*Das* lese ich nicht heraus.
> und dann sagen soll, inwiefern diese gemeinsame Verteilung
> von [mm]\theta_4[/mm] abhängt.
Gar nicht, in $z_$ gehen nur [mm] $\bar Y_1,\bar Y_2,\bar Y_3$ [/mm] ein.
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Sorry, ich stehe gerade auf dem Schlauch.
Könntest du mir nochmal erklären, wie du die Aufgabe verstehst und was genau ich tun muss?
Ich kapiere gerade gar nichts.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ein letzter Versuch. Ich antworte auf
Es ist dann noch gefragt:
Was lässt sich aus der ermittelten Verteilung von $ (\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3}) $ über die gemeinsame Verteilung der t-Teststatistiken
$ T_{12}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_2}}{\hat{\sigma}]\sqrt{n_1^{-1}+n_2^{-1}} $,
$ T_{13}:=\frac{\bar{Y_1}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_1^{-1}+n_3^{-1}} $ und
$ T_{23}:=\frac{\bar{Y_2}-\bar{Y_3}}{\hat{\sigma}\sqrt{n_2^{-1}+n_3^{-1}} $
der Hypothesen $ H_0^{(ij)}: \theta_i=\theta_j, i<j\leqslant 3 $, in Hinblick auf die Abhängigkeit von $ \theta_4 $ schließen?
Die Verteilung von $\bar Y_1,\bar Y_2,\bar Y_3$ haengt ab von $\theta_1,\theta_2,\theta_3$, nicht von $\theta_4$. Also wird auch die gemeinsame Verteilung von $(T_{12},T_{13},T_{23})^T$ nicht von $\theta_4$ abhaengen.
Frei nach Forrest Gump: Und mehr kann ich dazu nicht sagen.
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Ich weiß, dass ich mich blöde anstelle. Aber ich verstehe die Frage eben einfach nicht!
Ich habe also die Verteilung von [mm] $Z:=(\bar{Y_1}-\bar{Y_2},\bar{Y_1}-\bar{Y_3},\bar{Y_2}-\bar{Y_3})$ [/mm] bestimmt$. Diesen Teil der Aufgabe habe ich ja auch verstanden.
Aber jetzt ist mir eben nicht klar, wie ich dieses Resultat benutzen soll, um die andere Aufgabe, die du eben nochmal zitiert hast, zu bearbeiten.
Und was du mit $z^Tz$ meintest bzw. wiedu darauf kommst, ist mir auch nicht klar geworden.
Was genau soll ich mit
[mm] $z:=(T_{12},T_{13},T_{23})^T$
[/mm]
machen?
Die Aufgabe ist mir nicht klar, und wenn ich es mir noch 100 Mal durchlese.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
>
> Die Aufgabe ist mir nicht klar, und wenn ich es mir noch
> 100 Mal durchlese.
Mir auch nicht, und ich meine, das Beste herausgeholt zu haben.
Wende dich an den Aufgabensteller.
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Der Fragesteller sagt, man könne mittels der ermittelten Verteilung etwas über die Abhängigkeit der Teststatistiken von [mm] $\theta_4$ [/mm] sagen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Di 01.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Aber könnte nicht [mm] $\hat{\sigma}$ [/mm] von [mm] $\theta_4$ [/mm] anhängen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 02.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Sa 28.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Ich weiß nicht, ob du dies im Sinn hast, aber mein
> Vorgehen ist so:
>
> Es gibt einen Satz, der besagt, dass [mm]Z:=(Z_1,Z_2,Z_3)^T[/mm]
> genau dann multivariat normalverteilt ist, wenn [mm]d^TZ[/mm] für
> alle [mm]d\in\mathbb{R}^3[/mm] normalverteilt ist.
>
> Ich setze
>
> [mm]Z_1:=\bar{Y_1}-\bar{Y_2}[/mm]
> [mm]Z_2:=\bar{Y_1}-\bar{Y_3}[/mm]
> [mm]Z_3:=\bar{Y_2}-\bar{Y_3}[/mm]
>
> und wähle ein beliebiges
> [mm]d=(d_1,d_2,d_3)^T\in\mathbb{R}^3[/mm].
>
> Dann gilt
>
> [mm]d^TZ=d_1Z_1+d_2Z_2+d_3Z_3[/mm].
>
> Dies ist eine Linearkombination normalverteilter
> Zufallsgrößen und somit selbst normalverteilt.
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> Somit ist [mm]Z[/mm] multivariat normalverteilt.
So geht das auch, habe zu kompliziert gedacht.
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> Außerdem gilt [mm]\text{Cov}(Z_i,Z_j)=0[/mm] für alle [mm]i\neq j[/mm].
Huch, wieso sind z.B. [mm] $Z_1$ [/mm] und [mm] $Z_2$ [/mm] unkorreliert?
Voerst Ende der Durchsage, moechte gerne Brasilien rausfliegen sehen.
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> Huch, wieso sind z.B. [mm]Z_1[/mm] und [mm]Z_2[/mm] unkorreliert?
Oh, stimmt, das ist falsch. Ich habe mich verrechnet.
Ich hab mal versucht, es neu auszurechnen und ich komme nun auf
[mm] $V=\text{Cov}(Z)=\begin{pmatrix}\sigma^2(n_1^{-1}+n_2^{-1}) & n_1^{-1}\sigma^2 & -n_2^{-1}\sigma^2\\n_1^{-1}\sigma^2 & \sigma^2(n_1^{-1}+n_3^{-1}) & n_3^{-1}\sigma^2\\-n_2^{-1}\sigma^2 & n_3^{-1}\sigma^2 & \sigma^2(n_2^{-1}+n_3^{-1})\end{pmatrix}$.
[/mm]
Falls ich mich nicht wieder verrechnet habe, gilt also
[mm] $Z\sim((0,0,0)^T,V$ [/mm] mit obigem V.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:54 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Falls ich mich nicht wieder verrechnet habe, gilt also
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> [mm]Z\sim((0,0,0)^T,V[/mm] mit obigem V.
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Juhu, jetzt bleibt nur noch eine offene Frage.
Kannst du dabei auch helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 29.06.2014 | | Autor: | luis52 |
> Juhu, jetzt bleibt nur noch eine offene Frage.
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> Kannst du dabei auch helfen?
Schaun mer mal. Zunaechst fehlt mir noch auf, dass [mm] $\mu=(0,0,0)^T$ [/mm] falsch ist. Es gilt doch $ [mm] \theta_1=\theta_2=\theta_4 [/mm] $ ...
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Achherrje, schon wieder ein Fehler von mir!
Ich habe mich ganz am Anfang vertippt!
Es soll gelten: [mm] $\theta_1=\theta_2=\theta_3$ [/mm] und [mm] $\theta_4$ [/mm] beliebig.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 29.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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