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| Aufgabe | | Bestimmen Sie alle a, b, n [mm] \in \IN [/mm] mit a! + b! = [mm] 2^n. [/mm] |
Hallo, ich habe diese Aufgabe auf keinem anderen Forum gestellt.
Man kann ja als Ansatz o.B.d.A [mm] a\le [/mm] b wählen und dann direkt [mm] a\ge [/mm] b ausschließen, da ja dann 3 ein Teiler von [mm] 2^n [/mm] wäre, was nicht geht.
Und dann könnte man eine Fallunterscheidung machen für
a=2, a=1, a=0.
Stimmt das denn so, gibt es wirklich keine Lösung der Gleichung für [mm] a\ge [/mm] 3 ?
Und wann kann ich bei der Fallunterscheidung sagen, dass das nicht geht ?
Ist z.B. für den Fall
a=2 und [mm] b\ge4 [/mm] korrekt, dass die Summe [mm] \ge [/mm] 26 =2mod4 (mod=Modulo)
ist und dass dies nicht geht ?
Vielen Dank
Grüße
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> Bestimmen Sie alle a, b, n [mm]\in \IN[/mm] mit a! + b! = 2n.
a! + b! = [mm] 2^n [/mm] ?!
> Hallo, ich habe diese Aufgabe auf keinem anderen Forum
> gestellt.
>
> Man kann ja als Ansatz o.B.d.A [mm]a\le[/mm] b wählen und dann
> direkt [mm]a\ge[/mm] b 3
du meinst [mm] a\ge [/mm] 3
> ausschließen, da ja dann 3 ein Teiler von
> [mm]2^n[/mm] wäre, was nicht geht.
Die Überlegung ist korrekt
> Und dann könnte man eine Fallunterscheidung machen für
> a=2, a=1, a=0,
wobei [mm] a\in\{0,1\} [/mm] und [mm] b\ge [/mm] 2 auch nicht geht.
>
> Stimmt das denn so, gibt es wirklich keine Lösung der
> Gleichung für [mm]a\ge[/mm] 3 ?
ja
> Und wann kann ich bei der Fallunterscheidung sagen, dass
> das nicht geht ?
> Ist z.B. für den Fall
> a=2 und [mm]b\ge4[/mm] korrekt, dass die Summe [mm]\ge[/mm] 26 =2mod4
> (mod=Modulo)
> ist und dass dies nicht geht ?
ebenfalls korrekt
>
> Vielen Dank
> Grüße
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Danke.
Sorry, hatte die Aufgabenstellung falsch gestellt.
Oben stand 2n, müsste aber heißen [mm] 2^n. [/mm] Habe ich korrigiert.
Dann habe ich fünf mögliche Tripel (a,b,n), für die die Gleichung gilt. Stimmt das so?
Ich meine irgendwie der Dozent hätte gesagt, es gäbe unendlich viele Möglichkeiten.
Und man schließt [mm] a\ge [/mm] 3 aus, aber a=3 und b=2
geht ja ebenfalls auf. Ist also doch nicht so richtig oder ist meine Überlegung falsch ?
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Hallo imagemixer,
> Danke.
> Sorry, hatte die Aufgabenstellung falsch gestellt.
> Oben stand 2n, müsste aber heißen [mm]2^n.[/mm] Habe ich
> korrigiert.
> Dann habe ich fünf mögliche Tripel (a,b,n), für die die
> Gleichung gilt. Stimmt das so?
(0,0,1)
(0,1,1)
(1,0,1)
(1,1,1)
(2,2,2)
(2,3,3)
(3,2,3)
Bei den kursiven ist a>b.
> Ich meine irgendwie der Dozent hätte gesagt, es gäbe
> unendlich viele Möglichkeiten.
Dann stimmt wohl die Aufgabe so nicht.
> Und man schließt [mm]a\ge[/mm] 3 aus, aber a=3 und b=2
> geht ja ebenfalls auf. Ist also doch nicht so richtig oder
> ist meine Überlegung falsch ?
Naja, siehe oben.
Grüße
reverend
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Ja, habe ich auch so (die kursiven hatte ich nur nicht beachtet, sollte man aber, also danke!).
Eine Frage hätte ich aber noch: Warum ist es jetzt z.B.
für a=2 und [mm] b\ge [/mm] 4
ein Problem, dass [mm] 2^n \ge [/mm] 26 = 2mod4
wird?
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Hallo nochmal,
> Ja, habe ich auch so (die kursiven hatte ich nur nicht
> beachtet, sollte man aber, also danke!).
> Eine Frage hätte ich aber noch: Warum ist es jetzt z.B.
> für a=2 und [mm]b\ge[/mm] 4
> ein Problem, dass [mm]2^n \ge[/mm] 26 = 2mod4
> wird?
Verstehe ich nicht - du hast doch alle nötigen Teile der Lösung schon selbst gefunden. Oder nicht?
Für [mm] b\ge4 [/mm] ist doch sicher [mm] b!>2^2. [/mm] Jede Zweierpotenz [mm] 2^k [/mm] mit k>1 ist doch aber [mm] 2^k\equiv 0\mod{4}.
[/mm]
Also kann es keine weitere Lösung geben.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Sa 12.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
Ne ich hatte es eher aus dem Skript und Internet so "aufgeschnappt". Irgendwie war es schon klar, aber so richtig verinnerlicht hatte ich es ja doch nicht.
Danke dir!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:16 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Was ist denn wenn a=2 und b=3 und n=3 ist?
Dann erhielten wir 1*2 + 1*2*3 = [mm] 2^3
[/mm]
Das stimmt doch
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Hallo,
> Was ist denn wenn a=2 und b=3 und n=3 ist?
>
> Dann erhielten wir 1*2 + 1*2*3 = [mm]2^3[/mm]
>
> Das stimmt doch
Ja, stimmt. Steht aber auch schon in diesem Thread. Lies ihn doch erstmal ganz.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Ich habe ihn ganz gelesen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Verstehe jetzt nicht, welche Rolle die 3 als Teiler von [mm] 2^n [/mm] spielt und wieso ich mit Modulo rechnen muss. Ich habe ja , wie bereits geschildert, vier Lösungen gefunden, die nachstehenden:
a, b, n = 1
a, b, n = 2
a, n gleich 3 und b gleich 2
b, n gleich 3 und a gleich 2
Wie zeige ich denn jetzt genau, dass dies alle Lösungen sind?
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Hallo,
wenn die Null keine erlaubte Lösung ist, was von Eurer Definition von [mm] \IN [/mm] abhängt, dann hast Du alle Lösungen.
Die 3 kommt so ins Spiel: wenn a und b beide [mm] \ge3 [/mm] sind, dann sind a! und b! beide durch 3 teilbar, also auch a!+b!. Diese Summe kann daher keine Zweierpotenz sein, denn die enthält den Faktor 3 nicht.
Damit bleibt jetzt wohl nur noch der Fall zu erledigen, dass eine der beiden Zahlen a,b kleiner als 3 ist, die andere aber [mm] \ge3. [/mm] Kann es da noch mehr Lösungen geben, die bisher nicht berücksichtigt sind?
(Auch dazu steht schon etwas in diesem Thread.)
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Hier muss es doch a > b heißen, oder?
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> Hier muss es doch a > b heißen, oder?
Wenn überhaupt, dann [mm] a\ge{b}. [/mm] Du kannst auch [mm] b\ge{a} [/mm] wählen, das ist eigentlich egal. Wichtig ist nur, dass eine solche Festlegung oBdA erfolgen darf.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Was hat hier 3 als kein Teiler von [mm] 2^n [/mm] mit dem Ansatz zu tun?
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> Was hat hier 3 als kein Teiler von [mm]2^n[/mm] mit dem Ansatz zu
> tun?
Habe ich gerade weiter oben beantwortet.
Wir legen hier Wert darauf, uns als menschliche Wesen wahrzunehmen, auch wenn wir nur per Internet kommunizieren. Darum ist ein Eingangs- oder auch Schlussgruß eine Frage des Stils. Soviel Mühe ist es ja nicht, oder?
Grüße
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Ja, da hast du Recht. Entschuldige bitte.
Hmm, wie zeige ich jetzt denn noch, dass keine Variable größer 3 sein kann?
Gruß
mausieux
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> Die 3 kommt so ins Spiel: wenn a und b beide $ [mm] \ge3 [/mm] $ sind, dann sind a! und b! beide durch 3 teilbar, also auch a!+b!. Diese Summe kann daher keine Zweierpotenz sein, denn die enthält den Faktor 3 nicht.
wurde ja oben schon gesagt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Wie zeige ich meine letzte Frage?
Gruß
Mausieux
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Ja, am besten ist du schreibst es ganz formal auf.
Sind [mm] a,b\ge3 \Rightarrow 3|2^n [/mm] und das geht nicht (indirekter Beweis) [mm] \Rightarrow [/mm] a,b<3 ist dasselbe wie [mm] a,b\le2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 So 13.05.2012 | | Autor: | nobsy |
Wie steht es mit der Lösung: [mm] 3!+2!=2^3
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:46 So 13.05.2012 | | Autor: | mausieux |
Die Lösung habe ich auch
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