Faltung < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Di 29.12.2009 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Sei [mm] f=\chi_{[-1,1]}. [/mm] Berechnen Sie [mm] f\*f\*f. [/mm] ( Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] f\*f [/mm] und [mm] f\*f\*f [/mm] gerade sind und machen Sie eine Fallunterscheidung). |
Hallo, Allerseits!!
Mein Ansatz: ich gucke mir zuerst [mm] f\*f [/mm] an:
[mm] (f\*f)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(y)f(x-y) dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=(\*)
[/mm]
[mm] -1\le x-y\le{1} \gdw [/mm]
[mm] 1+x\ge y\ge{x-1}
[/mm]
Dann gibt es also 4 Fälle:
1) [mm] -2\le x\le{0}
[/mm]
2) [mm] 0\le x\le{2}
[/mm]
3) x>2
4) x<-2
Für 3) und 4) ist [mm] (\*)=0.
[/mm]
Für 1): [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=\integral_{-2}^{x}{1 dy}=x+2
[/mm]
Für 2): [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=\integral_{x}^{2}{1 dy}=2-x.
[/mm]
Es sieht aber nicht wirklich nach geraden Zahlen aus...:(
Wäre nett wenn mir jemand schreiben würde!
Vielen Dank im Voraus!!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:41 Mi 30.12.2009 | | Autor: | math101 |
Kann keiner helfen? Bitte ich brauche dringend Hilfe!!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei [mm]f=\chi_{[-1,1]}.[/mm] Berechnen Sie [mm]f\*f\*f.[/mm] ( Hinweis:
> Zeigen Sie, dass [mm]f\*f[/mm] und [mm]f\*f\*f[/mm] gerade sind und machen
> Sie eine Fallunterscheidung).
> Hallo, Allerseits!!
> Mein Ansatz: ich gucke mir zuerst [mm]f\*f[/mm] an:
> [mm](f\*f)(x)=\integral_{-\infty}^{\infty}{f(y)f(x-y) dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=(\*)[/mm]
Bevor du weiterrechnest, bedenke, dass wegen des Faktors [mm] $\chi_{[-1,1]}(y)$ [/mm] dies
[mm] = \integral_{-1}^{+1}{\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} [/mm]
ist.
>
> [mm]-1\le x-y\le{1} \gdw[/mm]
> [mm]1+x\ge y\ge{x-1}[/mm]
> Dann gibt es also 4 Fälle:
> 1) [mm]-2\le x\le{0}[/mm]
> 2) [mm]0\le x\le{2}[/mm]
> 3) x>2
> 4) x<-2
> Für 3) und 4) ist [mm](\*)=0.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber es wäre besser die Ungleichungen für die Integrationsvarraible y zu schreiben:
[mm] x-1 \le y \le x+1 [/mm] (und außerdem [mm] -1 \le y \le +1 [/mm])
> Für 1):
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=\integral_{-2}^{x}{1 dy}=x+2[/mm]
Das stimmt nicht ganz. Wie oben gesagt, fängt das Integral bei -1 an und geht bis $x+1$.
>
> Für 2):
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-1,1]}(y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}=\integral_{x}^{2}{1 dy}=2-x.[/mm]
Ebenso: Integral geht von $x-1$ bis +1.
> Es sieht aber nicht wirklich nach geraden Zahlen aus...:(
Aber doch! Du hast ausgerechnet:
[mm] (f\ast f)(x) = \begin{cases} 2+x & \text{für $-2\le x \le 0$} \\2-x & \text{für $0\le x \le 2 $}\\ 0 & \text{sonst} \end{cases} [/mm]
Zusammengefasst:
[mm] (f\ast f)(x) = \chi_{[-2,2]}(x) * (2-|x|) [/mm]
Wenn das keine gerade Funktion ist...
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 30.12.2009 | | Autor: | math101 |
Hallo, Rainer!!
Herzlichen Dank für deine Antwort!!
Jetzt sitze ich an dem zweiten Teil, weiß nicht so genau wie ich vorgehen soll...
[mm] ((f\*f)\*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-2,2]}(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}
[/mm]
Muss ich wieder Fälle unterscheiden:
1. [mm] -2\le{x}\le{0} [/mm] und [mm] x-1\le{y}\le{1+x}
[/mm]
2. [mm] 0\le{x}\le{2} [/mm] und [mm] x-1\le{y}\le{1+x}
[/mm]
oder ist es falsch?
Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!!
> Herzlichen Dank für deine Antwort!!
> Jetzt sitze ich an dem zweiten Teil, weiß nicht so genau
> wie ich vorgehen soll...
>
> [mm]((f\*f)\*f)(x)=\int_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-2,2]}(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]
Nicht ganz, da fehlt noch ein Argument:
[mm] \int_{-\infty}^{\infty}{\chi_{[-2,2]}\red{(y)}(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \int_{-2}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} [/mm]
> Muss ich wieder Fälle unterscheiden:
> 1. [mm]-2\le{x}\le{0}[/mm] und [mm]x-1\le{y}\le{1+x}[/mm]
> 2. [mm]0\le{x}\le{2}[/mm] und [mm]x-1\le{y}\le{1+x}[/mm]
> oder ist es falsch?
Fallunterscheidung ja, aber diesmal sind die zwei Ungleichungen
[mm] -2 \le y \le +2 [/mm] und [mm]x-1\le y\le 1+x[/mm],
sodass du x zwischen -3 und +3 liegen kann, ohne dass das Integral 0 wird.
Es ist vielleicht geschickter, das Integral zu zerlegen, damit du nicht mit der Betragsfunktion kämpfen musst:
[mm] \int_{-2}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \int_{-2}^{0}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} [/mm]
[mm]= \int_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]
und die beiden Integrale getrennt zu betrachten.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 So 03.01.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Rainer!!
> [mm]\int_{-2}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \int_{-2}^{0}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]=
>
> [mm]= \int_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]
Also 1. [mm] -2\le{y}\le{2}
[/mm]
2. [mm] x-1\le{y}\le{1+x}
[/mm]
dann habe ich wieder 2 Fälle, wo das Integral nicht 0 wird:
i) [mm] -3\le{y}\le{-1}
[/mm]
ii) [mm] 1\le{y}\le{3}
[/mm]
Durchs Einsetzen bekomme ich für das i) Intervall: [mm] \int_{-2}^{x+1}{(2+y)dy}+\int _{x+1}^{2}{(2-y)dy}=(1+x)^2+4 [/mm] und für das ii) Intervall:
[mm] \int_{-2}^{x-1}{(2+y)dy}+\int _{x-1}^{2}{(2-y)dy}=(1-x)^2+4.
[/mm]
Oder muss man die Grenzen anders einsetzen: [mm] \int_{-2}^{x+1}{(2+y)dy}+\int _{x-1}^{2}{(2-y)dy} [/mm] = [mm] x^2+5
[/mm]
Ich bin mir hier gar nicht sicher. Außerdem ist das wiederum nicht wirklich eine gerade Zahl...
Vielen-vielen Dank für deine Hilfe!!!
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Mo 04.01.2010 | | Autor: | math101 |
Bitte, Ich brauche Hilfe!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mo 04.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!!
> > [mm]\int_{-2}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \int_{-2}^{0}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-|y|)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]=
>
> >
> > [mm]= \int_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} + \int_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]
>
> Also 1. [mm]-2\le{y}\le{2}[/mm]
> 2. [mm]x-1\le{y}\le{1+x}[/mm]
> dann habe ich wieder 2 Fälle, wo das Integral nicht 0
> wird:
> i) [mm]-3\le{y}\le{-1}[/mm]
> ii) [mm]1\le{y}\le{3}[/mm]
Du meinst sicher x, nicht y. Dies sind die beiden Fälle, wo jeweils eines der beiden Integrale 0 wird. Du darfst aber $-1 < x < +1 $ nicht einfach weglassen.
> Durchs Einsetzen bekomme ich für das i) Intervall:
> [mm]\int_{-2}^{x+1}{(2+y)dy}+\int _{x+1}^{2}{(2-y)dy}=(1+x)^2+4[/mm]
> und für das ii) Intervall:
> [mm]\int_{-2}^{x-1}{(2+y)dy}+\int _{x-1}^{2}{(2-y)dy}=(1-x)^2+4.[/mm]
Nein, das stimmt nicht, denn wenn zum Beispiel x zwischen -1 und 0 liegt, stimmt die untere Grenze des ersten Integrals nicht. Ich finde es besser, die beiden Ungleichungen für y zusammenzufassen als
[mm] \max\{-2,x-1\} \le y \le \min \{2,1+x\} [/mm].
Damit ist dann
[mm] \integral_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}} (2+y) dy = (2y+y^2/2)\Biggr|_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}} [/mm]
und
[mm] \integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}(2-y) dy = (2y-y^2/2)\Biggr|_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}} [/mm]
wobei ein Integral 0 wird, wenn die obere Grenze [mm] $\le$ [/mm] der unteren Grenze ist (diese Bedingung habe ich nicht mit hineingeschrieben).
So, jetzt kannst du die verschiedenen Bereiche unterscheiden, zum Beispiel
[mm] -3 \le x \le -1 \implies \max\{-2,x-1\} = -2, \min\{0,1+x\} = 1+x , \max\{0,x-1\} = 0, \min\{2,1+x\} = 1+x \le 0[/mm],
das heisst, in diesem Bereich fällt das zweite Integral weg, und es ergibt sich
[mm] (2y+y^2/2)\Biggr|_{-2}^{1+x} = \bruch{1}{2} (x+3)^2 [/mm].
Ebenso fällt für [mm] $+1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3$ das erste Integral weg. Diesen und den Fall $-1 < x < 1 $ überlasse ich dir 
Zur Kontrolle: insgesamt ergibt sich eine glatte, also auch an den Übergängen zwischen den einzelnen Bereichen stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft [mm] $(f\ast [/mm] f [mm] \ast [/mm] f)(-x) = [mm] (f\ast [/mm] f [mm] \ast [/mm] f)(+x)$.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Di 05.01.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Rainer!! Vielen Dank für diene Hilfe!!!
> [mm]\max\{-2,x-1\} \le y \le \min \{2,1+x\} [/mm].
>
> Damit ist dann
>
> [mm]\integral_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}} (2+y) dy = (2y+y^2/2)\Biggr|_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}(2-y) dy = (2y-y^2/2)\Biggr|_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}[/mm]
>
> wobei ein Integral 0 wird, wenn die obere Grenze [mm]\le[/mm] der
> unteren Grenze ist (diese Bedingung habe ich nicht mit
> hineingeschrieben).
>
> So, jetzt kannst du die verschiedenen Bereiche
> unterscheiden, zum Beispiel
>
> 1. [mm]-3 \le x \le -1 \implies \max\{-2,x-1\} = -2, \min\{0,1+x\} = 1+x , \max\{0,x-1\} = 0, \min\{2,1+x\} = 1+x \le 0[/mm],
>
> das heisst, in diesem Bereich fällt das zweite Integral
> weg, und es ergibt sich
>
> [mm](2y+y^2/2)\Biggr|_{-2}^{1+x} = \bruch{1}{2} (x+3)^2 [/mm].
2. [mm] 1\le{x}\le{3}
[/mm]
[mm] \Rightarrow max\{-2,x-1\}=x-1 \ge min\{0,1+x\}=0 \Rightarrow [/mm] das Integral fällt weg
[mm] max\{0,x-1\}=x-1 \le min\{2,1+x\}=2
[/mm]
Dann [mm] \integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} [/mm] = [mm] \integral_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}(2-y) [/mm] dy = [mm] (2y-y^2/2)\Biggr|_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}=[2y-y^2/2]^{2}_{x-1}=\bruch{1}{2}(3-x)^2
[/mm]
3. [mm] -1\le{x}\le{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow max\{-2,x-1\}=x-1 \le min\{0,1+x\}=0 [/mm]
[mm] max\{0,x-1\}=0 \le min\{2,1+x\}=1+x
[/mm]
Also dann
[mm] \integral_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}+\integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} [/mm] = [mm] (2y+y^2/2)_{x-1}^{0}+(2y-y^2/2)_{0}^{1+x}=\bruch{1}{2}(3-2x-x^2)+\bruch{1}{2}(3+2x-x^2)=3-x^2 [/mm]
> Zur Kontrolle: insgesamt ergibt sich eine glatte, also auch an den Übergängen zwischen den einzelnen Bereichen stetig differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft [mm] (f\ast{f}\ast{f})(-x) [/mm] = [mm] (f\ast{f}\ast{f})(+x) [/mm] .
Ist es jetzt richtig?
Tausend mal Danke :)
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 05.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo, Rainer!! Vielen Dank für diene Hilfe!!!
> > [mm]\max\{-2,x-1\} \le y \le \min \{2,1+x\} [/mm].
> >
> > Damit ist dann
> >
> > [mm]\integral_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}} (2+y) dy = (2y+y^2/2)\Biggr|_{\max\{-2,x-1\}}^{\min\{0,1+x\}}[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > [mm]\integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy} = \integral_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}(2-y) dy = (2y-y^2/2)\Biggr|_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}[/mm]
>
> >
> > wobei ein Integral 0 wird, wenn die obere Grenze [mm]\le[/mm] der
> > unteren Grenze ist (diese Bedingung habe ich nicht mit
> > hineingeschrieben).
> >
> > So, jetzt kannst du die verschiedenen Bereiche
> > unterscheiden, zum Beispiel
> >
> > 1. [mm]-3 \le x \le -1 \implies \max\{-2,x-1\} = -2, \min\{0,1+x\} = 1+x , \max\{0,x-1\} = 0, \min\{2,1+x\} = 1+x \le 0[/mm],
> >
> > das heisst, in diesem Bereich fällt das zweite Integral
> > weg, und es ergibt sich
> >
> > [mm](2y+y^2/2)\Biggr|_{-2}^{1+x} = \bruch{1}{2} (x+3)^2 [/mm].
>
> 2. [mm]1\le{x}\le{3}[/mm]
> [mm]\Rightarrow max\{-2,x-1\}=x-1 \ge min\{0,1+x\}=0 \Rightarrow[/mm]
> das Integral fällt weg
> [mm]max\{0,x-1\}=x-1 \le min\{2,1+x\}=2[/mm]
> Dann
> [mm]\integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm] =
> [mm]\integral_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}(2-y)[/mm] dy =
> [mm](2y-y^2/2)\Biggr|_{\max\{0,x-1\}}^{\min\{2,1+x\}}=[2y-y^2/2]^{2}_{x-1}=\bruch{1}{2}(3-x)^2[/mm]
> 3. [mm]-1\le{x}\le{1}[/mm]
> [mm]\Rightarrow max\{-2,x-1\}=x-1 \le min\{0,1+x\}=0[/mm]
> [mm]max\{0,x-1\}=0 \le min\{2,1+x\}=1+x[/mm]
> Also dann
> [mm]\integral_{-2}^{0}{(2+y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}+\integral_{0}^{+2}{(2-y)\chi_{[-1,1]}(x-y)dy}[/mm]
> =
> [mm](2y+y^2/2)_{x-1}^{0}+(2y-y^2/2)_{0}^{1+x}=\bruch{1}{2}(3-2x-x^2)+\bruch{1}{2}(3+2x-x^2)=3-x^2[/mm]
> > Zur Kontrolle: insgesamt ergibt sich eine glatte, also auch
> an den Übergängen zwischen den einzelnen Bereichen stetig
> differenzierbare Funktion mit der Eigenschaft
> [mm](f\ast{f}\ast{f})(-x)[/mm] = [mm](f\ast{f}\ast{f})(+x)[/mm] .
>
> Ist es jetzt richtig?
Ja, das habe ich auch heraus. Und so sieht das Ergebnis aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße
Rainer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
