Faltung einer Gleichverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Mi 19.12.2007 | | Autor: | marcsn |
| Aufgabe | Es seien X und Y auf [0 1] gleichverteilt und unabhangig.Sei Z := |X-Y|
Berechnen Sie die Dichte, Erwartungswert und Varianz von Z.
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Hallo alle miteinander,
komme mit Faltungen irgendwie garnicht klar. Zunächst mal mein Ansatz:
Da wir hier ja Z=|X-Y| haben, will ich zunächst die Verteilungsfunktion von U:=X-Y bestimmen denn dann kann ich ja damit die Verteilungsfunktion von Z folgendermaßen bestimmen:
[mm]P[|X-Y|\le z]=P[-z\le |X-Y| \le z] = P[X-Y \le z]-P[X-Y\le -z]= F_U(z)-F_U(-z)[/mm]
So also gesucht ist die Verteilungsfunktion von U=X-Y :
[mm]P[U\le u]=P[X-Y\le u]=P[X\le u+Y]=\integral_{0}^{z}\integral_{0}^{z+y}{dx dy}=\integral_{0}^{z}{z+y}=\bruch{3}{2}z^2[/mm]
Tjoa soweit bin ich aber ich bin fast sicher, dass ich falsche Grenzen im Integral habe aber bekomm es einfach nicht hin.
Hab ich denn überhaupt nen brauchbaren Ansatz? Geht es leicher ?
Gruß
Marc :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Mi 19.12.2007 | | Autor: | luis52 |
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> So also gesucht ist die Verteilungsfunktion von U=X-Y :
>
> [mm]P[U\le u]=P[X-Y\le u]=P[X\le u+Y]=\integral_{0}^{z}\integral_{0}^{z+y}{dx dy}=\integral_{0}^{z}{z+y}=\bruch{3}{2}z^2[/mm]
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> Tjoa soweit bin ich aber ich bin fast sicher, dass ich
> falsche Grenzen im Integral habe aber bekomm es einfach
> nicht hin.
>
Moin Marc,
ich kriege ein mulmiges Gefuehl, wenn ich mir anschaue, wie du mit den
Variablen umgehst. Wie ist denn u gewaehlt worden? Du kannst naemlich den
Fall [mm] $u\notin(-1,1)$ [/mm] vernachlaessigen. Versuche doch einmal
https://matheraum.de/read?t=229478
nachzuvollziehen.
vg Luis
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Zunächst mal würd ich sagen, dass aus Symmetriegründen gilt:
[mm]P(|X-Y| \ge z) = 2P(X-Y \ge z)[/mm]
Damit müssen wir uns nur um die [mm]z \in \left[0, 1 \right][/mm] kümmern. Macht man sich eine Skizze der gemeinsamen Verteilung, kommt man auch ohne Faltung aus. Man sieht dann, dass
[mm]P(X-Y \ge z) = \bruch{(1-z)^2}{2}[/mm]
, denn das ist gerade die Fläche des Dreiecks, dass durch die Bedingung in [mm]\left[0, 1 \right] \times \left[0, 1 \right][/mm] gebildet wird. Damit folgt:
[mm]P(|X-Y| \ge z) = 2P(X-Y \ge z) = (1-z)^2[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:24 Do 20.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Zunächst mal würd ich sagen, dass aus Symmetriegründen
> gilt:
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> [mm]P(|X-Y| \ge z) = 2P(X-Y \ge z)[/mm]
>
> Damit müssen wir uns nur um die [mm]z \in \left[0, 1 \right][/mm]
> kümmern. Macht man sich eine Skizze der gemeinsamen
> Verteilung, kommt man auch ohne Faltung aus. Man sieht
> dann, dass
>
> [mm]P(X-Y \ge z) = \bruch{(1-z)^2}{2}[/mm]
>
> , denn das ist gerade die Fläche des Dreiecks, dass durch
> die Bedingung in [mm]\left[0, 1 \right] \times \left[0, 1 \right][/mm]
> gebildet wird. Damit folgt:
>
> [mm]P(|X-Y| \ge z) = 2P(X-Y \ge z) = (1-z)^2[/mm]
Klasse! (Keine Ironie)
Wenngleich dein "aus Symmetriegründen gilt:" auf etwas wackligen Beinen steht...
vg Luis
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Re: Symmetriegründe
Echt, findest du? Aber man kann doch X und Y vertauschen, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Also ich würde das schon als ziemlich symmetrisch ansehen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Fr 21.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Re: Symmetriegründe
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> Echt, findest du? Aber man kann doch X und Y vertauschen,
> ohne dass sich das Ergebnis ändert. Also ich würde das
> schon als ziemlich symmetrisch ansehen...
Beweis?
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Eigentlich trivial, oder? X und Y sind identisch verteilt, also gilt:
[mm]P(X=x \wedge Y=y) = P(X=y \wedge Y=x)[/mm]
und eigentlich interessiert uns ursprünglich ja nur [mm]Z=|X-Y|[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:30 Sa 22.12.2007 | | Autor: | luis52 |
> Eigentlich trivial, oder?
So?
> X und Y sind identisch verteilt,
> also gilt:
>
> [mm]P(X=x \wedge Y=y) = P(X=y \wedge Y=x)[/mm]
>
Meinst du mit [mm] $\wedge [/mm] $ den Schnitt [mm] $\cap$ [/mm] ? Es gilt
[mm]P(X=x \cap Y=y) =0= P(X=y \cap Y=x)[/mm].
Und was sagt uns das?
In deiner Antwort vom 20.12, 12:11, nutzt du ja implizit aus,
dass gilt [mm] $P(X-Y\le -z)=P(X-Y\ge [/mm] z)$ fuer [mm] $z\in(0,1)$. [/mm]
Wie folgt das denn nun mit obiger Gleichung?
> und eigentlich interessiert uns ursprünglich ja nur
> [mm]Z=|X-Y|[/mm].
Sehr richtig.
vg Luis
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Nee, wieso Schnitt? Ist ein logisches UND. Aber du hast insofern recht, dass man vielleicht besser mit der Dichte argumentieren sollte, da die Wahrscheinlichkeiten selbst natürlich 0 sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 22.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
dein Beweis ist ja korrekt, nur fehlte mir das "gewisse Extra",
wenngleich dir das "trivial" vorkam.
Es gilt der folgende Sachverhalt:
Sind $X$ und $Y$ identisch verteilt, so ist $X-Y$ symmetrisch verteilt.
Beweis: $X-Y=:Z$ und $Y-X=-(X-Y)=-Z$ sind identisch verteilt. Sei [mm] $z\in\IR$ [/mm] mit [mm] $z\ge0$.
[/mm]
Dann ist [mm] $P(Z\le -z)=P(-Z\ge z)=P(Z\ge [/mm] z)$.
vg Luis
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Hallo,
sitze an derselben Aufgabe und konnte euren Lösungsansatz leider nicht ganz nachvollziehen und versuche nun schon länger die Dichte mit der Faltung zu ermitteln.
Ich habe folgende Ergebnisse bis jetzt:
Meine Dichte für X:
[mm] f_{X}(t)=1 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 1
[mm] f_{X}(t)=0 [/mm] sonst
Meine Dichte für -Y:
[mm] f_{-Y}(t)=-1 [/mm] für -1 [mm] \le [/mm] t <0
[mm] f_{-Y}(t)=0 [/mm] sonst
Jetzt muss ich diese beiden Dichten ja eigentlich nur mit der Faltungsformel zusammenpacken aber ich weiß nicht wie diese anzuwenden ist. Wenn sich jemand kurz Zeit nehmen könnte wär das klasse.
freakish
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Mi 09.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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