Faltung von Maßen und L¹-Fkt. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:41 Mi 22.04.2009 | | Autor: | Leto |
| Aufgabe | | Für μ, ν ∈ M¹(G) ist μ [mm] \* [/mm] ν definiert durch ∫fdμ*ν = ∫f(xy)dμ(x)dν(y) für f ∈ K(G). Man leite hieraus die Faltungsformel für L¹-Funktionen ab. |
Hallo Leute.
Erstmal zur Erklärung: M¹(G) sind die komplexen Maße auf einer lokal kompakten Gruppe G. K(G) sind die stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. L¹ sind die absolut integrierbaren borelschen Funktionen. Die Faltungsformel auf L¹ kenne ich so:
f [mm] \* [/mm] g = [mm] \integral{f(y)L_{y}g dy}
[/mm]
Nun die Frage. Ich verstehe zwar, was die Faltung von Maßen ist, und auch wie die Faltung auf L¹ aussieht, aber wie ich das eine auf das Andere befördern kann, ist mir schleierhaft. Alle unsere Ansätze sind bisher grandios gescheitert
Und ich finde keine Literatur, die dieses Thema behandelt. Die meisten Bücher über Maß- und Integrationstheorie erklären nur die Faltung auf L¹ bzw. [mm] L^{p}. [/mm] :-(
Vielen Dank im Voraus. Jede Art von Hilfe oder Erklärung (auch Literaturtipps) ist willkommen. 
Die Aufgabe ist zwar morgen fällig, aber da ich sie sowieso schon aufgegeben habe, ist es nicht so dringend. Die richtige Antwort interessiert mich aber dennoch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:07 Fr 24.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Eine richtige Antwort ist das nicht, dazu kenn ich mich zu wenig mit Masstheorie aus. Aber vielleicht hilft es dir trotzdem weiter.
> Für μ, ν ∈ M¹(G) ist μ [mm]\*[/mm] ν
> definiert durch ∫fdμ*ν =
> ∫f(xy)dμ(x)dν(y) für f ∈ K(G). Man
> leite hieraus die Faltungsformel für L¹-Funktionen ab.
Es waere ganz nett, wenn du den Formeleditor benutzen wuerdest anstelle irgendwelche Unicode-Zeichen fuer Formeln zu verwenden. Dann koennte man das hier wesentlich besser lesen, gerade beim Versuch das zu beantworten.
> Erstmal zur Erklärung: M¹(G) sind die komplexen Maße auf
> einer lokal kompakten Gruppe G. K(G) sind die stetigen
> Funktionen mit kompaktem Träger. L¹ sind die absolut
> integrierbaren borelschen Funktionen. Die Faltungsformel
> auf L¹ kenne ich so:
> f [mm]\*[/mm] g = [mm]\integral{f(y)L_{y}g dy}[/mm]
>
> Nun die Frage. Ich verstehe zwar, was die Faltung von Maßen
> ist, und auch wie die Faltung auf L¹ aussieht, aber wie ich
> das eine auf das Andere befördern kann, ist mir
> schleierhaft.
Nun, es gibt doch einen Zusammenhang zwischen Massen und Funktionen. Dazu musst du zuerst einmal ein Mass [mm] $\mu$ [/mm] fixieren -- etwa irgendein Haar-Mass auf $G$ (die unterscheiden sich ja nur bis auf Vielfache).
Jetzt kannst du zu einem $f [mm] \in L^1(G)$ [/mm] ein Mass [mm] $\nu_f$ [/mm] definieren durch [mm] $\nu_f(A) [/mm] = [mm] \int_A [/mm] f [mm] \; d\mu$ [/mm] fuer eine messbare Menge $A$.
Umgekehrt kannst du aus [mm] $\nu$ [/mm] wieder $f$ erhalten, indem du den Satz von ![[]](/images/popup.gif) Radon-Nikodym bemuehst (jedes Mass in [mm] $M^1(G)$ [/mm] sollte absolut stetig bzgl. [mm] $\mu$ [/mm] sein, das musst du evtl. noch zeigen).
Eventuell kannst du mit dieser Korrespondenz zeigen, dass die Faltungsformel fuer [mm] $L^1$-Funktionen [/mm] gerade von der Faltungsformel fuer komplexe Masse kommt.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 So 26.04.2009 | | Autor: | Leto |
Hallo Felix!
Ja, das sieht sehr gut aus, auf diese Idee (Funktionen und Maße in einen dermaßen direkten Zusammenhang zu setzen) bin ich nicht gekommen.
Werde mir das genauer anschauen (heute aber nicht mehr), meine Ergebnisse posten und die Frage grün machen. Unicode wird nicht wieder vorkommen
Liebe Grüße,
Markus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 30.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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