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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo,
ich möchte den Automorphismus [mm] f:\IR^{n}\to \IR^{n} [/mm] mit [mm] f(x)=\lambda [/mm] x, [mm] \lambda \in \IR [/mm] als Matrix darstellen.
Die Matrix [mm] \lambda\cdot 1_{n} [/mm] tut dies ja auf jeden Fall [mm] (1_{n} [/mm] ist Einheitsmatrix).
Wähle ich aber eine andere Basis als die kanonische also [mm] B=\{v_{1},..., v_{n}\}\not= \{e_{1},....e_{n}\} [/mm] so kann ich die Spalten der Matrix doch als Bilder der Basisvektoren auffassen, also
[mm] M_{B}=\pmat{\lambda\cdot v_{1} & ... & \lambda\cdot v_{n}}\not= \lambda\cdot 1_{n}
[/mm]
Jetzt gibt es aber doch noch den Satz, dass zwei quadratische Matrizen genau dann ähnlich sind, wenn sie bezüglich verschiedener Basen den gleichen Endomorphismus beschreiben.
Mein Problem ist jetzt, dass [mm] \lambda\cdot 1_{n} [/mm] ja nur zu sich selbst ähnlich ist und auf keinen Fall ähnlich zu [mm] M_{B}, [/mm] die beiden aber meiner Meinung nach den gleichen Endomorphismus beschreiben...
Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist?
Gruß Matto.
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> Hallo,
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> ich möchte den Automorphismus [mm]f:\IR^{n}\to \IR^{n}[/mm] mit
> [mm]f(x)=\lambda[/mm] x, [mm]\lambda \in \IR[/mm] als Matrix darstellen.
>
> Die Matrix [mm]\lambda\cdot 1_{n}[/mm] tut dies ja auf jeden Fall
> [mm](1_{n}[/mm] ist Einheitsmatrix).
>
> Wähle ich aber eine andere Basis als die kanonische also
> [mm]B=\{v_{1},..., v_{n}\}\not= \{e_{1},....e_{n}\}[/mm] so kann ich
> die Spalten der Matrix doch als Bilder der Basisvektoren
> auffassen, also
> [mm]M_{B}=\pmat{\lambda\cdot v_{1} & ... & \lambda\cdot v_{n}}\not= \lambda\cdot 1_{n}[/mm]
Hallo,
egal, welche basis Du wählst, ob die kanonische oder eine x-beliebige, die darstellende Matrix wird stets das [mm] \lambda-fache [/mm] der Einheitsmatrix sein.
Nehmen wir eine beliebige Basis [mm] B=(v_1,...,v_n).
[/mm]
Was steht in den Spalten der darstellenden Matrix?
Wie Du selbst sagst: die Bilder der Basisvektoren.
Was Du nicht sagst: die Bilder der Basisvektoren in Koordinaten bzgl dieser Basis.
Wie sieht also die i-te Spalte aus?
Es ist [mm] f(v_i)=\lambda v_i =0*v_1+0*v_2+....+0*v_{i-1}+\lambda v_i+0*v_{i+1}+...+0*v_{n}=\vektor{0 \\\vdots\\0\\ \lambda\\0\\ \vdots \\ 0}_{(B)}, [/mm] und dies wäre dann in die i-te Spalte einzutragen, also eine [mm] \lambda [/mm] an i-ter Stelle und sonst Nullen.
Ähnlich sind zwei Matrizen A und B, wenn es eine Matrix T gibt mit [mm] B=T^{-1}AT.
[/mm]
Wenn Deine Matrix A nun die [mm] \lambda-fache [/mm] Einheitsmatrix ist, haben alle zu Ihr ähnlichen Matrizen die Gestalt [mm] B=T^{-1}(\lambda [/mm] E)T mit T invertierbar.
Rechnen wir das mal aus:
[mm] B=T^{-1}(\lambda E)T=\lambda T^{-1}ET=\lambdaT^{-1}T=\lambda [/mm] E - achso, das hattest Du ja schon selbst festgestellt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MatzeI |
Hallo Angela,
>
> egal, welche basis Du wählst, ob die kanonische oder eine
> x-beliebige, die darstellende Matrix wird stets das
> [mm]\lambda-fache[/mm] der Einheitsmatrix sein.
>
> Nehmen wir eine beliebige Basis [mm]B=(v_1,...,v_n).[/mm]
>
> Was steht in den Spalten der darstellenden Matrix?
> Wie Du selbst sagst: die Bilder der Basisvektoren.
> Was Du nicht sagst: die Bilder der Basisvektoren in
> Koordinaten bzgl dieser Basis.
>
> Wie sieht also die i-te Spalte aus?
>
> Es ist [mm]f(v_i)=\lambda v_i =0*v_1+0*v_2+....+0*v_{i-1}+\lambda v_i+0*v_{i+1}+...+0*v_{n}=\vektor{0 \\\vdots\\0\\ 1\\0\\ \vdots \\ 0}_{(B)},[/mm]
> und dies wäre dann in die i-te Spalte einzutragen, also
> eine 1 an i-ter Stelle und sonst Nullen.
>
Achja, da war mein Fehler...
Aber muss hier nicht an die i-te Stelle ein [mm] \lambda [/mm] und keine 1?
Grüße Matze.
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> > Wie sieht also die i-te Spalte aus?
> >
> > Es ist [mm]f(v_i)=\lambda v_i =0*v_1+0*v_2+....+0*v_{i-1}+\lambda v_i+0*v_{i+1}+...+0*v_{n}=\vektor{0 \\\vdots\\0\\ 1\\0\\ \vdots \\ 0}_{(B)},[/mm]
> > und dies wäre dann in die i-te Spalte einzutragen, also
> > eine 1 an i-ter Stelle und sonst Nullen.
> >
> Achja, da war mein Fehler...
> Aber muss hier nicht an die i-te Stelle ein [mm]\lambda[/mm] und
> keine 1?
Hallo,
doch, natürlich! Da war ich wohl mit den gedanken nicht mehr ganz dabei.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:18 Mi 02.07.2008 | | Autor: | MatzeI |
Ok, vielen Dank!
Grüße Matze.
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