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| Aufgabe | Ein Fenster soll die Form eines oben offenen Rechtsecks mit
aufgesetztem Halbkreis erhalten.
a) Wie sind die Abmessungen zu wählen, damit bei
gegebenem Umfang U die Fensterfläche und
damit der Lichteinfall möglichst groß ist?
b) Bestimmen Sie die Länge der Abmessungen und
die sich ergebende Größe der Fensterfläche für
U = 4,28 m. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
also ich habe bisher diese beide Formeln heraus,
U = 2x + 2y + pi * 2
A = 2xy + (pi / 2) * [mm] x^2
[/mm]
Ich verstehe schon das dies eine Extremwertaufgabe ist, was ich einfach nicht verstehe was ich nun mit diesen beiden Formeln mache, und was ich tun muss um daraus ein Formel zu bekommen mit der ich anschließend die Extrema errechnen kann...
wäre dankbar für jeden tip...
In diesem Sinne...und viel dank...
warumauchimmer
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Hallo Wozuauchimmer!
Wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe hat das Fenster oben einen Rundbogen. Das heisst, dass der Umfang die Abmessungen hat
[mm] $U(x,y)=2x+y(1+\pi/2)$
[/mm]
und die Flaeche
[mm] $A(x,y)=x*y+\pi (y/2)^2$. [/mm]
Fuer die Flaeche wird nun unter der nebenbedingung $U=Const$ ein Maximum gesucht. Dazu musst du zunaechst einmal herausfinden welches die zulaessigen Punkte $(x,y)$ sind fuer die $U(x,y)=Const$. Wie es aussieht, handelt es sich um eine Gerade im [mm] $\IR^2$. [/mm] diese kannst du in Abhanegigkeit von $x$ (oder $y$) parametrisieren. du erhaelst dann so etwas wie [mm] $x\mapsto [/mm] (x, y(x))$. Diese Kurve setzt du in $A$ ein, dass heisst,, du erhaelst, die reele Funktion [mm] $x\mapsto [/mm] A(x,y(x))$, die du ganz herkoemmlich diskutieren kannst. 
Viel Erfolg!
LG Kornfeld
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Hallo,
erstmal vielen danke für den Tipp Dennoch muss ich zugegeben, das ich das nur begrenzt verstanden habe. Theoretisch ist mir das irgendwie klar, nur habe ich keine Ahnung über das wie.
Meinst du ich soll erst den Umfang nehmen und dazu die Formel U um daraus x und y herauszubekommen?
Ich verstehe nicht ganz wen ich x und y herausbekommen hab habe ich doch Teilformeln, wie soll ich die in A einsetzen?
Danke schonmal...
In diesem Sinne...warumauchimmer
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Hallo,
eine wunderschöne Extremwertaufgabe, zeichne dir ein Rechteck Breite a, Höhe b, aufgesetzter Halbkreis, der Kreis hat somit den Durchmesser a, die Fläche soll maximiert werden:
Hauptbedingung:
[mm] A(a,b)=A_R_e_c_h_t_e_c_k+A_H_a_l_b_k_r_e_i_s
[/mm]
[mm] A(a,b)=a*b+\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{4}*a^{2}
[/mm]
[mm] A(a,b)=a*b+\bruch{\pi}{8}*a^{2}
[/mm]
Nebenbedingung:
[mm] u=a+b+b+\bruch{1}{2}*\pi*a
[/mm]
[mm] 4,28m=a+2b+\bruch{\pi*a}{2}
[/mm]
[mm] b=\bruch{4,28m}{2}-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi*a}{4}
[/mm]
[mm] b=2,14-a(\bruch{1}{2}+\bruch{\pi}{4})
[/mm]
b=2,14-1,285a
jetzt noch Nebenbedingung in Hauptbedingung, 1. Ableitung:
[mm] A(a)=a*(2,14-1,285a)+\bruch{\pi}{8}*a^{2}
[/mm]
den "Rest" schaffst du
Steffi
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