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Forum "Zahlentheorie" - Fermat Euler

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Fermat Euler: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	22:12 Fr 20.05.2011
Autor:	emulb

Aufgabe

 Pierre de Fermats Vermutung, alle Fermatzahlen [mm] F_{k} [/mm] := [mm] 2^{2^{k}} [/mm] + 1 seien prim, wurde 1732 von Leonhard Euler mit der zusammengesetzten Zahl [mm] F_{5} [/mm] = [mm] 2^{32} [/mm] + 1 widerlegt. Folgere aus den beiden Gleichungen

     641 = [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 und 641 = [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4}
 [/mm]

die Gültigkeit von [mm] 641|(2^{32} [/mm] + 1).

Meine Lösung:

als 1. 641 = [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 -> [mm] 5*2^{7} [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 641 -> [mm] 5*2^{7} \equiv [/mm] -1 mod 641

Diese Kongruenz gilt auch, wenn man jede Seite mit sich selbst multipliziert, also die vierte Potenz erhebt.

-> [mm] 5^{4} [/mm] * [mm] 2^{28} \equiv [/mm] 1 mod 641 (Zwischenergebnis)

als 2. 641 = [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4} [/mm] -> [mm] 5^{4} [/mm] + [mm] 2^{4} \equiv [/mm] 0 mod 641 -> [mm] 5^{4} \equiv -2^{4} [/mm] mod 641

Man kann also im Zwischenergebnis [mm] 5^{4} [/mm] durch [mm] -2^{4} [/mm] ersetzen:

-> [mm] -2^{4} [/mm] * [mm] 2^{28} \equiv [/mm] 1 mod 641
-> [mm] 2^{32} [/mm] + 1 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 641

also 641| [mm] (2^{32} [/mm] +1 )

Stimmt das so??

Bezug

Fermat Euler: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	22:51 Fr 20.05.2011
Autor:	steppenhahn

Hallo,

> Pierre de Fermats Vermutung, alle Fermatzahlen [mm]F_{k}[/mm] :=
> [mm]2^{2^{k}}[/mm] + 1 seien prim, wurde 1732 von Leonhard Euler mit
> der zusammengesetzten Zahl [mm]F_{5}[/mm] = [mm]2^{32}[/mm] + 1 widerlegt.
> Folgere aus den beiden Gleichungen
>
> 641 = [mm]5*2^{7}[/mm] + 1 und 641 = [mm]5^{4}[/mm] + [mm]2^{4}[/mm]
>
> die Gültigkeit von [mm]641|(2^{32}[/mm] + 1).
>  Meine Lösung:
>
> als 1. 641 = [mm]5*2^{7}[/mm] + 1 -> [mm]5*2^{7}[/mm] + 1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 641 ->
> [mm]5*2^{7} \equiv[/mm] -1 mod 641
>
> Diese Kongruenz gilt auch, wenn man jede Seite mit sich
> selbst multipliziert, also die vierte Potenz erhebt.
>
> -> [mm]5^{4}[/mm] * [mm]2^{28} \equiv[/mm] 1 mod 641 (Zwischenergebnis)

> als 2. 641 = [mm]5^{4}[/mm] + [mm]2^{4}[/mm] -> [mm]5^{4}[/mm] + [mm]2^{4} \equiv[/mm] 0 mod
> 641 -> [mm]5^{4} \equiv -2^{4}[/mm] mod 641

> Man kann also im Zwischenergebnis [mm]5^{4}[/mm] durch [mm]-2^{4}[/mm]
> ersetzen:
>
> -> [mm]-2^{4}[/mm] * [mm]2^{28} \equiv[/mm] 1 mod 641
>  -> [mm]2^{32}[/mm] + 1 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 641

>
> also 641| [mm](2^{32}[/mm] +1 )
>
>
> Stimmt das so??