Fermat Prinzip < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:04 Di 07.12.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachte zwei Punkte A, B in der euklidischen Ebene [mm] \IR^{2}. [/mm] Gesucht ist der kürzeste Weg von A nach B derart, dass der Weg einmal die x-Achse berührt und aus zwei Strecken besteht. Berechne die x-Koordinate von P = [mm] (x_{min}, [/mm] 0) für den kürzesten Weg.
A = (0,2) B = (4,7) P = (?,0)
Weglänge (gerundet auf 5 Nachkommastellen): ?
Es können l(x) (Funktion der Länge des Weges) und l'(x) (erste Ableitung von l(x) als Zwischenergebnis angegeben werden.
l(x)= ? (Angabe freiwillig)
l'(x)= ? (Angabe freiwillig) |
Also diesmal habe ich wirklich keine Ahnung, wie ich da ran gehen soll!
Das Einzige was ich weiß, ist, dass l(x) = [mm] f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0})(x-x_{0})
[/mm]
und dass Punkt A der linke Randpunkt ist und Punkt B der rechte Randpunkt!
Und nun soll ich mit dem limes von [mm] x_{0} [/mm] (quasi dem jeweilgen Randpunkt) gegen x (also die x-Koordinate von unserem gesuchten Punkt) gehen.
Aber ich kenne doch die Funktion gar nicht?!?!
Ich weiß nur, dass Funktionen, die so aussehen wie auf den Bildern, die Form [mm] f(x)=\wurzel({x^{2}}) [/mm] haben.
Und weiter? ich habe KEINE Ahnung!!
(Die roten Fragezeichen sind die Werte die ich ausrechnen soll!)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo lexjou,
[mm] \wurzel{x^2} [/mm] ist aber eine komplizierte Angabe. Das ist doch das gleiche wie |x|. Ich sehe da im übrigen eigentlich nur Geraden - und die Suche nach dem kürzesten Weg spricht auch nicht für Komplizierteres.
Die Aufgabe ist die, die man beim Billard zu lösen hat - das Spiel über eine Bande. Schon das scheint den meisten hohe Kunst zu sein, dabei gibt es den Aufgabentyp normalerweise etwa in der achten (G9: neunten) Klasse zum ersten Mal zu lösen, nämlich in der Physik. Beim Thema "Spiegelung" in der Optik stellt sich die Frage, wie der Betrachter B den Punkt A im auf der x-Achse liegenden Spiegel sieht, wie also der Strahlenverlauf ist.
Erinnerst Du Dich?
Die Lösung ist ganz leicht zu finden, wenn man eines der beiden Objekte A oder B auch spiegelt... Nur woran?
Viel Erfolg!
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 07.12.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Reverend,
ja natürlich erinnere ich mich daran. Ist jetzt auch nicht so, dass ich nicht fähig bin, Einfallswinkel=Ausfallswinkel und dann zu rechnen!
Nur ist das ja nicht über die Form l(x)=... (s. meinen ersten Beitrag).
Ich wollte ja wissen, mit welcher Funktion ich rechnen soll, denn ich soll es ja so machen wie bereits geschrieben: Punkt A ist linker Randpunkt, Punkt B ist rechter Randpunkt. Berechnung von x (Punkt [mm] P_{3}(x,0) [/mm] über [mm] \limes_{{x_{0}\rightarrow\x}}; [/mm] wobei [mm] x_{0} [/mm] erstmal der linke Randpunkt ist (danach Berechnung mit rechten Randpunkt über [mm] \limes_{{x}\rightarrow\{x_{0}}} [/mm] und die Funktion muss eine Tangente sein die durch x und den Punkt P1, bzw. P2 geht!
DAS wollte ich wissen! Nicht Physik 9. Klasse! ;)
Für die Funktion vom linken Randpunkt zu x wäre das eine fallende Gerade durch den Punkt [mm] P_{1} [/mm] (2,0) und den Punkt [mm] P_{3} [/mm] (x,0); für den rechten Randpunkt eine steigende Gerade mit [mm] P_{3} [/mm] als Startpunkt (oder auch Minimum) und durch den Punkt [mm] P_{2}!
[/mm]
Für beide Funktionen muss [mm] P_{3} [/mm] das Minimum sein. Ich kann aber nicht z. B. die beiden Ableitungen gleichsetzen (da sie ja das gleiche Minimum haben), weil ich die Funktion nicht kenne! Und mit [mm] l(x)=f(x_{0}) [/mm] + [mm] f'(x_{0})(x-x_{0}) [/mm] kann ich einfach nicht viel anfangen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Mi 08.12.2010 | | Autor: | tentigo |
hi,
probier doch mal anhand der gegebenen Punkte die Steigungen zu bestimmen. (womöglich mit einer Variablen)
dann hast du ja schon fast deine Funktion für den kürzesten Weg... und kannst daraus den Wert bestimmen für den die Ableitung 0 wird.
(hat zumindest bei mir geklappt ;) )
Nur ist mir nicht klar, wieso l(x) als Zwischenergebnis verlangt wird, denn man muss l(x) ohne Variablen einsetzen... und die Variable bestimmt man ja erst am Ende... , also wäre dieses "Zwischenergebnis" falsch, wenn auch die Variable falsch berechnet wurde.. oder sehe ich das falsch?
MfG
N.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mi 08.12.2010 | | Autor: | chrisno |
Nimm einen beliebigen Punkt auf der x-Achse also (x ; 0). Nun sagt die Freund Pythagoras die Entfernung zum Punkt A und auch die zum Punkt B. Schreibe beide Entfernungen hin und addiere sie. Schreibe davor f(x)= oder eben l(x)=.
|
|
|
|
