Fermatsche Zahl Pseudoprimzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:14 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Jede Fermatsche Zahl [mm] F_{n} [/mm] = [mm] 2^{2^{n}}+1, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] ist eine Pseudoprimzahl. |
Guten Morgen,
ich komme bei dieser Aufgabe irgendwie nicht weiter. Also zu zeigen ist, dass
[mm] F_{n} [/mm] | [mm] 2^{F_{n}}-2 [/mm] d.h es gibt ein z [mm] \in \IZ, [/mm] so dass gilt: [mm] 2^{F_{n}}-2 [/mm] = [mm] F_{n}*z. [/mm] Also: [mm] 2^{2^{2^{n}}+1}-2 [/mm] = [mm] (2^{2^{n}}+1)* [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] z = [mm] \bruch{2^{2^{2^{n}}+1}-2}{2^{2^{n}}+1}. [/mm] Hm wie kann ich nun zeigen, dass es sich hierbei um eine ganze Zahl handelt? Das Umformen bereitet mir hier sehr viele Probleme. Würde mich freuen, wenn mir hier jemand weiter helfen könnte.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Mo 13.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] \bruch{2^{2^{2^{n}}+1}-2}{2^{2^{n}}+1}. [/mm]
[mm] \bruch{2^{2^{2^{n}}}\cdot2^{1}-2}{2^{2^{n}}+1}. [/mm]
[mm] =\bruch{2\left(2^{2^{2^{n}}}-1\right)}{2^{2^{n}}+1}. [/mm]
[mm] =\bruch{2\left(2^{2\cdot2\cdot n}-1\right)}{2^{2\cdot n}+1}. [/mm]
[mm] =\bruch{2\left(\left(2^{2n}\right)^{2}-1\right)}{2^{2n}+1}. [/mm]
[mm] =\bruch{2\left(2^{2n}-1\right)\left(2^{2n}+1\right)}{2^{2n}+1}. [/mm]
[mm] =2\left(2^{2n}-1\right). [/mm]
Und der Bruch ist nun wie von Zauberhand verschwunden. 
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Da muss jemand noch mal ein paar elementare Regeln wiederholen....
Ich danke dir :)
LG Loriot95
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 Mo 13.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Da muss jemand noch mal ein paar elementare Regeln
> wiederholen....
> Ich danke dir :)
Kein Problem, manchmal sieht man solche Sachen einfach nicht.
Ich hab hier recht schnell gesehen, dass ich die 2 aus dem Zähler ausklammern kann, und dann hab ich eben auch recht schnell die 3. binomische Formel entdeckt.
>
> LG Loriot95
Marius
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