Ferranti Effekt < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 06.02.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Stellt man die Telegraphengleichung einer Übertragungsleitung (modelliert durch ein Serienwiderstand R',eine Serieninduktivität L', eine Shunt Kapazität C' und einen Shuntwiderstand G') dar, erhält man wie eine Welle auf dieser Leitung übertragen wird.
[mm] \bruch{d^{2} \underline{I}}{dx^{2}} [/mm] = (R' + jwL')*(G' + [mm] jw*C')*\underline{I}
[/mm]
und
[mm] \bruch{d^{2} \underline{U}}{dx^{2}} [/mm] = (R' + jwL')*(G' + [mm] jw*C')*\underline{U}
[/mm]
Daraus folgt
[mm] \underline{I(x)} [/mm] = [mm] \underline{I_{0}}*e^{-\lambda*x} [/mm] + [mm] \underline{I_{1}}*e^{+\lambda*x}
[/mm]
[mm] \underline{U(x)} [/mm] = [mm] \underline{U_{0}}*e^{-\lambda*x} [/mm] + [mm] \underline{U_{1}}*e^{+\lambda*x}
[/mm]
mit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \wurzel{(R' + jwL')*(G' + jw*C')}
[/mm]
ausserdem ist [mm] Z_{W} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{R' + jwL'}{G' + jwC'}} [/mm] = [mm] \bruch{U_{0}}{I_{0}} [/mm] = - [mm] {U_{1}}{I_{1}}
[/mm]
Nun gebe man die Spannung [mm] U_{ende} [/mm] und den Strom [mm] I_{ende} [/mm] am Ende der Leitung vor. Das heisst:
U(x=l) = [mm] U_{ende} [/mm] = [mm] \underline{U_{0}}*e^{-\lambda*l} [/mm] + [mm] \underline{U_{1}}*e^{+\lambda*l}
[/mm]
und
I(x=l) = [mm] I_{ende} [/mm] = [mm] \bruch{1}{Z_{w}}*(\underline{U_{0}}*e^{-\lambda*l} [/mm] - [mm] \underline{U_{1}}*e^{+\lambda*l})
[/mm]
Dies kann man nun nach [mm] U_{0} [/mm] und [mm] U_{1} [/mm] auflösen. Es folgt:
U(x) = [mm] U_{ende}*cosh(\lambda*(x-l)) [/mm] + [mm] Z_{w}*I_{ende}*sinh(\lambda(x-l))
[/mm]
I(x) = [mm] I_{ende}*cosh(\lambda*(x-l)) [/mm] + [mm] \bruch{U_{ende}}{Z_{w}}*sinh(\lambda*(l-x))
[/mm]
Für R' = 0 und G' = 0 ist [mm] \lambda [/mm] rein immaginär. Setzen wir [mm] \lambda [/mm] = [mm] j*\beta. [/mm] Nehmen wir nun an das [mm] I_{ende} [/mm] = 0 ist, so folgt U(x) = [mm] U_{ende}*cos(\beta*(x-l)). [/mm] Ist nun U(x) vorgegeben und [mm] \beta*l [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] so ist [mm] U_{ende} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Fazit:
Die Lösungen für sin-för mige Anregungen beinhalten aber interessante Effekte wenn man die Anfangsbedingungen entsprechend wählt. So kann z.B. die Spannung am Ende der Leitung bei x = l für G' = 0 und R' = 0 einen unendlich hohen Wert annehmen. Diesem Effekt sagt man auch Ferranti Effekt.
Ich verstehe nicht wie man sich den Physikalisch erklären kann.
Danke.
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:17 Di 07.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
wenn die Leitung nicht richtig abgeschlossen ist, nimmt der an sie angeschlossene Verbraucher nur einen Teil der in die Leitung eingespeisten Energie auf, ein weiterer Teil wird reflektiert und führt, je nach Leitungslänge und Frequenz, zu stehenden Wellen auf dieser Leitung. Diese können, je nach Phasenlage, eine größere Amplitude besitzen als die ursprünglich eingespeiste Spannung, ein Effekt, den Du auch vom Schwingkreis her kennst. Dort bezeichnet man solch eine Spannungsüberhöhung als Güte des Schwingkreises. Da in der realen Welt jedoch immer Verluste auftreten, wird solch eine Güte nie in den Himmel wachsen, sprich Unendlich groß werden.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 08.02.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo Infinit,
Danke. Das ist mal ein Ansatz. Das Phenomen kommt also aus der Relexion. Nur was ich noch nicht verstehe ist, wieso die Spannung mit [mm] U/cos((x-l)\beta) [/mm] über der Leitung verläuft. Ich meine bei verlustfreier Reflexion müsste die Spannung bzw. die stehende Welle überall auf der Leitung gleich sein. Wieso baut sie sich nun für x gegen [mm] \pi/2 [/mm] so auf?
Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 08.02.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo qsxqsx,
der Begriff der stehenden Welle bedeutet ja nicht, dass die Amplitude der Spannung oder auch des Stroms entlang der Leitung überall gleich ist, sondern bedeutet nur, dass solch eine Welle sich nicht über die Leitung bewegt, sondern in Hinblick auf ihren Schwingungsbauch und ihren Schwingungsknoten an derselben Stelle der Leitung bleibt. Durch Deinen etwas pathologischen Fall einer Leitung ohne Dämpfung entsteht dann eine stehende Wellenform, wie Du sie ausgerechnet hast.
Viele Grüße,
Infinit
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