Fibonacci-Folge b-adische zahl < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Do 09.06.2005 | | Autor: | Marianne |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo!
Ich habe bei 2 Aufgaben Probleme.
a) wir haben [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta =\bruch{1}{2}\pm \wurzel{\bruch{5}{4}}
[/mm]
(NST von [mm] x\mapsto x^{2}-x-1)
[/mm]
Nun sollen wir zeigen: dass zu jeder Fibonacci-Folge [mm] a_{n} [/mm] gibt es [mm] a,b\in \IR [/mm] mit [mm] \forall n\in \IN: a_{n}=a\alpha ^{n}+b\beta^{n}
[/mm]
Fibonacci-Folge: [mm] a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}
[/mm]
Ich soll zeigen, dass (*) für n=0, n=1 gilt (Berechnung) und dann zeigen, dass es mit diesen a,b für jedes n gilt.
Ich denke es würde mir reichen, wenn mir jemand helfen würde diese a,b zu berechnen. Danach würde ich alleine weiter machen.
b)Ich soll die b-adische zahldarstellung von [mm] x=\bruch{1}{3} [/mm] für b=5, b=8, b=16 berechnen.
Ich weiß im Grunde wie diese Darstellung funktioniert, nur mit irrationalen Brüchen ist das ein Problem.
Als Hinweis haben wir erhalten, dass das wir die Darstellung von rationalen Zahlen übertragen können, in dem wir bei den sukzessiven Division (???) vorkommenden natürlichen Zahlen b-adisch interpretieren können.
vielleicht könnte mir es jemand für b=5 zeigen, da ich keine Ahnung habe, was hier von hier verlangt ist.
Ich bin für jede Unterstützung egal bei welcher Aufgabe dankbar!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 09.06.2005 | | Autor: | Aly |
a)
Du kannst das Per Induktion zeigen:
Beh: Für jedes n, sind a= [mm] (1/\wurzel{5}) [/mm] und [mm] b=(-1/\wurzel{5})
[/mm]
Lösung des Problems.
für n = 0 und n = 1 ist das klar denn es gilt
[mm] a_{0}= a*\alpha^{0}+b*\beta^{0} [/mm] = a+b
die oben angegebene werte von a und b erfüllen offensichtlich diese gleichung denn
[mm] a+b=(1/\wurzel{5}-1/\wurzel{5})=0
[/mm]
auch für n = 1 ist es nicht schwer zu sehen
[mm] a*\alpha+b*\beta=1 [/mm] ist
Also der Induktionsanfang ist erfolgreich abgeschlossen
Nun nehmen wir an die behauptung gilt für alle [mm] k\len
[/mm]
Es bleibt nur noch zu zeigen dass die Behauptung auch für (n+1) gilt
nun es gilt per Definition
[mm] a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}
[/mm]
(Per Induktion)
[mm] =a\alpha ^{n}+b\beta^{n}+a\alpha ^{n-1}+b\beta^{n-1}
[/mm]
Nun fassen wir die a's zusammen, und die b's zusammen
und erhält:
= [mm] a*\alpha^{n-1}*(\alpha+1)+b*\beta^{n-1}*(\beta+1)
[/mm]
(nun da [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] nullstellen des Polynoms [mm] x^{2}-x-1 [/mm] sind
gilt [mm] \alpha^{2}-\alpha-1=0 [/mm] und [mm] \beta^{2}-\beta-1=0
[/mm]
also [mm] \alpha+1=\alpha^{2} [/mm] und [mm] \beta+1=\beta^{2})
[/mm]
Daraus folgt dass der Ausdruck oben ist
= [mm] a*\alpha^{n-1}*(\alpha^{2})+b*\beta^{n-1}*(\beta^{2})
[/mm]
= [mm] a*\alpha^{n+1}*+b*\beta^{n+1}
[/mm]
womit die behauptung bewiesen ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 09.06.2005 | | Autor: | Aly |
oben müsste eigentlich für alle k<=n stehen und nicht für alle k
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Hallo Marianne,
> b)Ich soll die b-adische zahldarstellung von [mm]x=\bruch{1}{3}[/mm]
> für b=5, b=8, b=16 berechnen.
> Ich weiß im Grunde wie diese Darstellung funktioniert, nur
> mit irrationalen Brüchen ist das ein Problem.
> Als Hinweis haben wir erhalten, dass das wir die
> Darstellung von rationalen Zahlen übertragen können, in dem
> wir bei den sukzessiven Division (???) vorkommenden
> natürlichen Zahlen b-adisch interpretieren können.
> vielleicht könnte mir es jemand für b=5 zeigen, da ich
> keine Ahnung habe, was hier von hier verlangt ist.
ich mach das immer so:
[mm]\begin{array}{l}
\frac{1}{3}\; \times \;5\; = \;1\; + \;\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3}\; \times \;5\; = \;3\; + \;\frac{1}{3} \\
\end{array}[/mm]
Und jetzt wiederholt sich dan ganze Spielchen.
Demzufolge ist [mm]\frac{1}{3}\; = \;0,\overline {13} _{5} [/mm]
Gruß
MathePower
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