Fibonacci-Folge,zeige induktiv < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:38 Sa 24.11.2007 | | Autor: | Feli2812 |
| Aufgabe | Sei [mm] (f_n)_{n\in\IN} [/mm] die Fibonacci-Folge, rekursiv definiert durch [mm] f_1=f_2=1 [/mm] und [mm] f_{n+1}=f_n [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 2. Außerdem sei [mm] (x_n)_{n\in\IN} [/mm] rekursiv definiert durch [mm] x_1=1 [/mm] und [mm] x_{n+1}=1+\bruch{1}{x_n} [/mm] für [mm] n\ge [/mm] 1. Sei g wie oben. ( [mm] g^2=1+g [/mm] und [mm] g:=\bruch{1}{2}(h+i\wurzel{4-h^2}) [/mm] )
(a) Zeige induktiv [mm] f_{n+1} [/mm] - [mm] f_ng=(-1)^ng^{-n} [/mm] und folgere [mm] \bruch{f_{n+1}}{f_n} \to [/mm] g.
(b) Zeige induktiv [mm] x_n =\bruch{f_{n+1}}{f_n} [/mm] und folgere [mm] x_n \to [/mm] g. |
Hallo ihr...
Also die aufgabe ist bestimmt nicht schwer... ich habe auch schon für Teilaufgabe a und b jeweils den induktionsanfang. nur irgendwie komme ich nicht weiter...ich habe nach dem IA mit dem Induktionsschritt so angefangen:
für n=n+1
[mm] f_{n+1} [/mm] - [mm] f_ng=(-1)^ng^{-n} [/mm] habe ich als [mm] f_n [/mm] + [mm] f_{n-1}-f_ng [/mm] geschrieben.
nun muss ich doch hinterher von
[mm] f_{n+1}+f_{n+1-1} [/mm] - [mm] f_{n+1}g [/mm] auf [mm] (-1)^{n+1}g^{-(n+1)} [/mm]
kommen, oder?
Ich hab es schon soweit umgeformt, dass ich dann auf:
[mm] (-1)^ng^{-n}+(-1)^ng^{-n}-f_{n-1}-f_ng [/mm]
komme...doch die letzten beiden Summanden muss ich ja auch irgendwie auflösen können...nur ich komm da nicht drauf :-( das gleiche problem hab ich auch bei der (b)...wahrscheinlich mach ich einen ganz doofen fehlern...Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Das wäre echt lieb,
lg Feli
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 So 25.11.2007 | | Autor: | Feli2812 |
ist schon in Ordnung...habs jetzt glaub ich gelöst.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 So 25.11.2007 | | Autor: | liri |
Hi
Ich habe noch ein paar Schwierigkeiten bei der Lösung. Kannst du deine mal hierschreibe. Das wäre super!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:07 So 25.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
mein induktionsschritt: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] f_{n+2} [/mm] - [mm] f_{n+1}g [/mm] = [mm] f_{n+1}+f_{n}-f_{n}g+f_{n-1}g [/mm] = [mm] (-1)^{n}g^{-n} +f_{n}+ f_{n-1}
[/mm]
(jetzt substituiere ich n=m+1 mit [mm] m,n\in\IN) [/mm] und erhalte
[mm] (-1)^{m+1}g^{-(m+1)} +f_{m+1}+ f_{m}=(-1)^{m+1}g^{-(m+1)} [/mm] + [mm] (-1)^{m}g^{-m} [/mm] = [mm] (-1)^{n}g^{-n} +(-1)^{n-1}g^{-(n-1)}= (-1)^{n-1}g^{-n}(-1+g)= (-1)^{n-1}g^{-n}(-1+1+h)= (-1)^{n-1}g^{-n}g^{-1}= (-1)^{n-1}g^{-n-1}=(-1)^{n-1}g^{-(n+1)}
[/mm]
Will ja aber auf [mm] (-1)^{n+1}g^{-(n+1)} [/mm] kommen ?!
WO IST MEIN FEHLER ??
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 So 25.11.2007 | | Autor: | SpoOny |
hab jetzt bewiesen das folgendes gilt:
[mm] (-1)^{n-1} =(-1)^{n+1}
[/mm]
(-:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 27.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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