Fibonacci-Zahlen, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{F _{n+1}}{F_n} [/mm] existiert und berechnen Sie ihn. |
So, also ich möchte berechnen. Kann ich die Formel von Moive Binet einsetzen und Zähler und Nenner getrennt betrachten, oder ist das nicht zulässig?
Viele Dank
Calculu
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Hallo Calculu!
Wenn die ![[]](/images/popup.gif) Formel nach Moivre-Binet bekannt ist, darfst Du diese auch gerne verwenden.
Allerdings darfst Du nicht Zähler und Nenner getrannt behandeln: schließlich steigt die Fibonacci-Folge über alle Grenzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:27 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Calculu |
Hm, ok.
Also die Formel ist bekannt. Funktioniert es dann nur durch geschicktes umformen und letztlich irgendwie Hauptnenner bilden oder muss ich etwas abschätzen.
Ein Tipp wäre sehr cool 
VG
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> Hm, ok.
> Also die Formel ist bekannt. Funktioniert es dann nur durch
> geschicktes umformen und letztlich irgendwie Hauptnenner
> bilden oder muss ich etwas abschätzen.
Hallo,
abschätzen muß ich nichts, sondern oben und unten ausklammern, kürzen und den Grenzwert bilden.
Einen konkreten Tip kann man sicher besser geben, wenn man sieht, was Du bisher getan hast...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Calculu |
Ok, also ich habe bis jetzt folgendes gemacht:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{Fn+1}{Fn}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{\wurzel{5}}*((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n+1})}{\bruch{1}{\wurzel{5}}*((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n})}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n+1})}{((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n})}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}*\bruch{1+\wurzel{5}}{5}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n}*\bruch{1-\wurzel{5}}{5}}{((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n})}
[/mm]
So, und jetzt stören mich das Minus bei [mm] 1-\wurzel{5}
[/mm]
Ansonsten könnte ich ja ausklammern...
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Hallo Calculu!
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{1}{\wurzel{5}}*((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n+1})}{\bruch{1}{\wurzel{5}}*((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n})}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n+1}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n+1})}{((\bruch{1+\wurzel{5}}{5})^{n}-(\bruch{1-\wurzel{5}}{5})^{n})}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun klammere in Zähler und Nenner den Term [mm] $\left(\bruch{1+\wurzel{5}}{5}-\bruch{1-\wurzel{5}}{5}\right)$ [/mm] aus
(Stichwort:  Polynomdivision).
Bedenke, dass gilt:
[mm] $$a^{n+1}-b^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] (a-b)*\left(a^{n}+a^{n-1}*b+a^{n-2}*b^2+...+a*b^{n-1}+b^{n}\right)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:07 Mi 19.05.2010 | | Autor: | Calculu |
Ok, schonmal vielen Dank. Ich muss gleich arbeiten gehen. Meld mich später wieder.
Viele Grüße
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