Fibonacci < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Mo 26.12.2011 | | Autor: | hubbel |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:58 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo hubbel,
> Die Folgen der Fibonacci-Zahlen [mm](f_k)_{k \in \IN_0}[/mm] ist
> definiert als
>
> [mm]f_0=0, f_1=1, f_{k+2}=f_{k+1}+f_k[/mm]
>
> Definiere damit
>
> [mm]F_0!:=1, F_{n+1}!=f_{n+1}*F_n!,n \in \IN_0[/mm]
>
> [mm]{n\choose0}_F:=1, {n \choose k}_F:=\left( \bruch{F_n!}{F_k!F_{n-k}!} \right),n,k \in \IN_0,k \le[/mm]
> n
>
> 1. Zeigen Sie:
>
> [mm]{n\choose k}_F=f_{n-k+1}{n-1 \choose k-1}_F+f_{k-1}{n-1 \choose k}_F,1 \le[/mm]
> k [mm]\le[/mm] n
>
> und folgern Sie [mm]{n\choose k}_F \in \IN[/mm] für alle n,k [mm]\in \IN_0,k \le[/mm]
> n.
>
> Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Hilfsgleichung
> [mm]f_n=f_{n-k+1}f_k+f_{k-1}f_{n-k}[/mm]
> Ich steige da gerade nicht ganz durch, wie gehe ich da am
> besten ran? Habe an Induktion gedacht, geht das ordentlich?
> Oder gibt es eine bessere Methode? Danke schonmal!
tolle Aufgabe!
Du solltest den Hinweis nutzen und die Hilfsgleichung durch Induktion nach $k$ beweisen. Das geht ganz leicht, du musst im Induktionsschritt nur zweimal den Index "verschieben" mit [mm] $f_{m}=f_{m-1}+f_{m-2}$ [/mm] bzw [mm] $f_{m}=f_{m+1}-f_{m-1}$.
[/mm]
Für die eigentliche Aufgabe kannst du dann einen direkten Beweis führen. Setze dabei für die Fibonacci-Binomialkoeffizienten die Definition mit den Fakultäten ein, forme ein bisschen um und benutze dann die Hilfsgleichung.
Wenn du noch Probleme hast, zeig uns deine Rechnungen, dann helfen wir dir weiter!
Noch was: Die Aufgabe geht scheinbar noch weiter. Könntest du bitte die anderen Aufgabenteile auch noch posten (auch wenn du da gar keine Hilfe brauchst)? Ich würde sie nämlich gerne in meine persönliche Aufgabensammlung aufnehmen!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Mo 26.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, es geht noch weiter, da werde ich wohl auch noch Hilfe benötigen, dazu dann später.
Ich verstehe nicht, wie ich diese Hilfsgleichung zeige, soll ich da wirklich mit den [mm] f_n [/mm] rechnen, also mit Index oder muss ich dafür einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Ja, es geht noch weiter, da werde ich wohl auch noch Hilfe
> benötigen, dazu dann später.
ich freu mich drauf! 
> Ich verstehe nicht, wie ich diese Hilfsgleichung zeige,
> soll ich da wirklich mit den [mm]f_n[/mm] rechnen, also mit Index
> oder muss ich dafür einsetzen?
Die Aussage ist so zu verstehen:
Mit einem beliebigen (aber festen) [mm]n[/mm] gilt für jedes [mm]k[/mm] mit [mm]1\le k \le n[/mm]: [mm]f_n=f_{n-k+1}f_k+f_{k-1}f_{n-k}[/mm]
Zur Induktion:
Induktionsanfang: [mm]k=1[/mm] einsetzen und auf Richtigkeit prüfen.
Induktionsvoraussetzung: Aussage gilt für ein beliebiges [mm]k[/mm]
Induktionsschritt: Zeige [mm]f_n=f_{n-1}f_{k+1}+f_{k}f_{n-k-1}[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Mo 26.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, also:
Induktionanfang:
k=1
=>
[mm] f_n=f_n*f_1+f_0*f_{n-1}
[/mm]
Ich setze [mm] f_0=0 [/mm] und [mm] f_1=1
[/mm]
=>
[mm] f_n=f_n*1+0
[/mm]
[mm] f_n=f_n
[/mm]
Induktionsschritt:
k->k+1
=>
[mm] f_n=f_{n-(k+1)}*f_{k+1}+f_{k+1-1}*f_{n-(k+1)}
[/mm]
[mm] f_n=f_{n-k}*f_{k+1}+f_k*f_{n-k-1}
[/mm]
Jetzt muss ich da ja irgendwie für k=1 einsetzen, jetzt kommt sicherlich die Indexverschiebung dran, leider habe ich davon keine Ahnung, kannst du mir mal ein Beispiel geben, wie man das macht, also nicht anhand dieser Aufgabe mein ich jetzt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hi hubbel,
> Ok, also:
>
> Induktionanfang:
>
> k=1
>
> =>
>
> [mm]f_n=f_n*f_1+f_0*f_{n-1}[/mm]
>
> Ich setze [mm]f_0=0[/mm] und [mm]f_1=1[/mm]
>
> =>
>
> [mm]f_n=f_n*1+0[/mm]
>
> [mm]f_n=f_n[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Induktionsschritt:
>
> k->k+1
>
> =>
>
> [mm]f_n=f_{n-(k+1)}*f_{k+1}+f_{k+1-1}*f_{n-(k+1)}[/mm]
>
> [mm]f_n=f_{n-k}*f_{k+1}+f_k*f_{n-k-1}[/mm]
>
> Jetzt muss ich da ja irgendwie für k=1 einsetzen, jetzt
> kommt sicherlich die Indexverschiebung dran, leider habe
> ich davon keine Ahnung, kannst du mir mal ein Beispiel
> geben, wie man das macht, also nicht anhand dieser Aufgabe
> mein ich jetzt.
Nein, der Fall [mm]k=1[/mm] ist der Induktionsanfang - damit hast du gezeigt, dass es überhaupt ein [mm]k[/mm] gibt, für das die Aussage gilt. Hier musst du versuchen die Induktionsvoraussetzung zu verwursten, diese lautet [mm] f_n=f_{n-k+1}f_k+f_{k-1}f_{n-k} [/mm]
Eigentlich "verschiebst" du den Index hier nicht, vielmehr verwendest du die Definition [mm]f_n:=f_{n-1}+f_{n-2}[/mm].
Du hast [mm]f_n=\blue{f_{n-k}}*\red{f_{k+1}}+\green{f_k}*\red{f_{n-k-1}}[/mm] und willst [mm] f_n=\red{f_{n-k+1}}\green{f_k}+\red{f_{k-1}}\blue{f_{n-k}} [/mm] benutzen. Ein Teil davon passt ja schon: die blauen bzw grünen Terme. Was die roten Terme angeht: hier musst du versuchen z.B. [mm]f_{k+1}[/mm] so umzuschreiben, dass [mm]f_{k-1}[/mm] darin vorkommt - und wenn du Glück hast, heben sich eventuelle zusätzliche Terme auf.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 26.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstehe nicht, wie du auf: [mm] f_n:=f_{n-1}+f_{n-2} [/mm] kommst, das einzige was ich benutzen könnte wäre:
[mm] f_{k+2}:=f_{k+1}+f_k [/mm] => [mm] f_{k+2}-f_k:=f_{k+1}
[/mm]
Ich habe also:
[mm] f_n=f_{n-k-1}*f_k+f_{k+1}*f_{n-k}
[/mm]
Nun setze ich mal ein für [mm] f_{k+1} [/mm] ein:
=>
[mm] f_n=f_{n-k-1}*f_k+(f_{k+2}-f_k)*f_{n-k}
[/mm]
Jetzt ist die Frage, wie multipliziere ich mit einem Index?
Bzw. gilt [mm] f_n+f_1=f_{n+1}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:57 Mo 26.12.2011 | | Autor: | Fulla |
> Verstehe nicht, wie du auf: [mm]f_n:=f_{n-1}+f_{n-2}[/mm] kommst,
> das einzige was ich benutzen könnte wäre:
>
> [mm]f_{k+2}:=f_{k+1}+f_k[/mm] => [mm]f_{k+2}-f_k:=f_{k+1}[/mm]
Ja, eine Fibonacci-Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger, also [mm]f_{k+2}:=f_{k+1}+f_k[/mm]. Oder, wenn du nicht [mm]f_{k+2}[/mm] berechnen willst, sondern [mm]f_k[/mm]: [mm]f_k=f_{k-1}+f_{k-2}[/mm]
Für den Beweis brauchst du dann noch [mm] $f_{n-k+1}=f_{n-k}+f_{n-k-1}$. [/mm] Das kannst du dann so umformen, wie du es oben gemacht hast - also als Differenz geschrieben.
> Ich habe also:
>
> [mm]f_n=f_{n-k-1}*f_k+f_{k+1}*f_{n-k}[/mm]
>
> Nun setze ich mal ein für [mm]f_{k+1}[/mm] ein:
>
> =>
>
> [mm]f_n=f_{n-k-1}*f_k+(f_{k+2}-f_k)*f_{n-k}[/mm]
Vielleicht kommst du so auch ans Ziel, aber ich habe an dieser Stelle [mm]f_{k+1}=f_k+f_{k-1}[/mm] benutzt.
> Jetzt ist die Frage, wie multipliziere ich mit einem Index?
>
> Bzw. gilt [mm]f_n+f_1=f_{n+1}?[/mm]
Nein, das gilt nicht. Du musst "ganz einfach" ausmultiplizieren. Es ist z.B. [mm](f_k+f_{k-1})*f_{n-k}=f_kf_{n-k}+f_{k-1}f_{n-k}[/mm] - stell dir die [mm]f[/mm]'s einfach natürliche Zahlen vor (das sind sie ja auch).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Di 27.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Verstehe, mit meiner Definition mit [mm] f_{k+2}:=f_{k+1}+f_k [/mm] wird ja ansich nur gesagt, dass eben die beiden Vorgängerzahlen addiert werden, somit kann ich ja auch [mm] f_{k+1}=f_k+f_{k-1} [/mm] benutzen:
[mm] f_n=f_{n-k-1}\cdot{}f_k+f_{k+1}\cdot{}f_{n-k} [/mm]
=>
[mm] f_n=f_{n-k-1}\cdot{}f_k+(f_k+f_{k-1})\cdot{}f_{n-k} [/mm]
Ich sehe aber gerade absolut nicht, was mir das bringt beim ausmultiplezieren und vorallem ist mir nicht klar, wie ich [mm] f_{n-k-1} [/mm] ersetzen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Di 27.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück,
ich steig nochmal an dieser Stelle ein:
Du hast [mm] f_n=\blue{f_{n-k}}\cdot{}\red{f_{k+1}}+\green{f_k}\cdot{}\red{f_{n-k-1}} [/mm] und willst [mm] f_n=\red{f_{k-1}}\blue{f_{n-k}} +\red{f_{n-k+1}}\green{f_k}[/mm] (ich hab hier in der zweiten Gleichung die beiden Summanden vertauscht) verwenden.
Aus dem (ersten roten) [mm]f_{k+1}[/mm] machen wir ein [mm]f_{k}+f_{k-1}[/mm] und aus dem (zweiten roten) [mm]f_{n-k-1}[/mm] machen wir ein [mm]f_{n-k+1}-f_{n-k}[/mm] (denn [mm] f_{n-k+1}=f_{n-k}+f_{n-k-1} [/mm]).
Also wird aus der ersten Gleichung:
[mm]f_n=f_{n-k}(f_{k}+f_{k-1})+f_k(f_{n-k+1}-f_{n-k})=\blue{f_{n-k}f_k}+f_{n-k}f_{k-1}+f_kf_{n-k+1}-\blue{f_kf_{n-k}}[/mm]
Das blaue kürzt sich weg und was übrig bleibt ist die Behauptung.
Damit haben wir die Hilfsgleichung bewiesen! D.h. für ein beliebiges (aber festes) $n$ gilt $ [mm] f_n=f_{n-k+1}f_k+f_{k-1}f_{n-k} [/mm] $ und zwar für jedes $k$ zwischen 1 und $n$.
So, jetzt versuch dich mal an der Aussage über die Fibonacci-Binomialkoeffizienten!
Da musst du die Definition (mit den Fakultäten) verwenden, den Hauptnenner bilden, ausklammern und die Hilfsgleichung benutzen.
Viel Erfolg,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Di 27.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Dann mal danke dafür, nun zur eigentlichen Aufgabe:
[mm] {n\choose k}_F=f_{n-k+1}{n-1 \choose k-1}_F+f_{k-1}{n-1 \choose k}
[/mm]
= [mm] f_{n-k+1}\left( \bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-1-(k-1))!} \right)_F+f_{k-1} \left( \bruch{(n-1)!}{k!*(n-1-k)!} \right)=f_{n-k+1}\left( \bruch{(n-1)!}{(k-1)!*(n-k)!} \right)_F+f_{k-1} \left( \bruch{(n-1)!}{k!*(n-1-k)!} \right)
[/mm]
Ich weiß jetzt nicht, ob ich mit beiden Seiten rechnen sollte oder, die rechte Seite so umformen sollte, dass da die linke bei rauskommt. Wenn ich beide Seiten betrachte, könnte ich nämlich z.B. dieses (n-1)! kürzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Di 27.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo hubbel,
die Definition von [mm]{n\choose k}_F[/mm] ist doch [mm]\frac{F_n!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}[/mm], setze also z.B. [mm]{n-1 \choose k-1}_F=\frac{F_{n-1}!}{F_{k-1}!\cdot F_{n-1-(k-1)}!}=\frac{F_{n-1}!}{F_{k-1}!\cdot F_{n-k}!}[/mm] ein.
Beachte, wie [mm]F_{n}![/mm] definiert ist: das ist das Produkt aus den ersten [mm]n[/mm] Fibonacci-Zahlen (ohne die 0), also [mm]F_n!:=f_1*f_2*f_3*\ldots *f_{n-1}*f_{n}[/mm].
Insbesondere gilt z.B. [mm]f_n*F_{n-1}!=F_n![/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 27.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, verstehe, dann bau ich mal alles zusammen:
[mm] \frac{F_n!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}=f_{n-k+1}\frac{F_{n-1}!}{F_{k-1}!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!}{F_{k}!\cdot F_{n-k-1}!}
[/mm]
<=>
[mm] \frac{f_n}{F_k!\cdot F_{n-k}!}=f_{n-k+1}\frac{1}{F_{k-1}!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{1}{F_{k}!\cdot F_{n-k-1}!}
[/mm]
Ich setzte nunmal die Hilfsgleichung für [mm] f_n [/mm] ein:
[mm] \frac{f_{n-k+1}f_k+f_{k-1}f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!}=f_{n-k+1}\frac{1}{F_{k-1}!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{1}{F_{k}!\cdot F_{n-k-1}!}
[/mm]
Sorry, wenn ich mich so anstelle, aber blicke gerade überhaupt nicht durch, was ich noch kürzen könnte, bräuchte mal einen kleinen Denkanstoß...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Di 27.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hi hubbel,
lass die linke Seite erstmal stehen, versuch lieber, die rechte Seite umzuformen.
[mm] {n\choose k}_F=\frac{F_n!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}=f_{n-k+1}\frac{F_{n-1}!}{F_{k-1}!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!}{F_{k}!\cdot F_{n-k-1}!} [/mm]
Um das ganze auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen (idealerweise wäre das [mm]F_k!\cdot F_{n-k}![/mm]), spielen wir mal ein bisschen mit den Indizes:
[mm]\ldots =f_{n-k+1} \frac{f_k\cdot F_{n-1}!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!\cdot f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!}[/mm]
(Hier habe ich z.B. benutzt, dass [mm]F_{k-1}!=\frac{F_{k}!}{f_k}[/mm].)
Jetzt fasse zusammen und klammere dann [mm] $F_{n-1}!$ [/mm] aus.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 27.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Warum gilt: [mm] F_{k-1}!=\frac{F_{k}!}{f_k} [/mm] ?
Ich verstehe auch gerade gar nicht, was du mit dem [mm] F_{n-k-1} [/mm] gemacht hast.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Di 27.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Warum gilt: [mm]F_{k-1}!=\frac{F_{k}!}{f_k}[/mm] ?
[mm]F_k![/mm] ist das Produkt der ersten [mm]k[/mm] Fibonacci-Zahlen. Wenn ich durch die k-te F.-Zahl teile, kürzt sich diese weg und es bleibt das Produkt der ersten [mm]k-1[/mm] F.-Zahlen übrig - was nichts anderes als [mm]F_{k-1}![/mm] ist.
Das ist genauso wie bei der "normalen" Fakultät.
> Ich verstehe auch gerade gar nicht, was du mit dem
> [mm]F_{n-k-1}[/mm] gemacht hast.
Da hab ich genau dasselbe gemacht. Du kannst auch die Definition bemühen: [mm]F_{n-k}!:= f_{n-k}\cdot F_{n-k-1}![/mm]. Nach [mm]F_{n-k-1}! [/mm] aufgelöst ergibt das [mm]\frac{F_{n-k}!}{f_{n-k}}[/mm] (wobei das in der Gleichung oben im Nenner des Bruchs steht).
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Dann muss das doch nicht so lauten:
[mm] \ldots =f_{n-k+1} \frac{f_k\cdot F_{n-1}!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!\cdot f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!}
[/mm]
Sondern so, oder?
[mm] \ldots =f_{n-k+1} \frac{f_k\cdot F_{n-1}!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!\cdot f_{n-k-1}}{F_k!\cdot F_{n-k}!}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Nein, das Obere ist richtig. Ich hab mich im letzten Beitrag vertippt und es jetzt korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] f_{n-k+1} \frac{f_k\cdot F_{n-1}!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}+f_{k-1}\frac{F_{n-1}!\cdot f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!}=F_{n-1}!\left( \bruch{f_{n-k+1}*f_k+f_{k-1}*f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!} \right)
[/mm]
Der Nenner passt ja jetzt schon, so brauche ich ihn ja.
Mit [mm] F_{n-1}!=\frac{F_{n}!}{f_n} [/mm] erhalte ich:
[mm] \frac{F_{n}!}{f_n}\left( \bruch{f_{n-k+1}*f_k+f_{k-1}*f_{n-k}}{F_k!\cdot F_{n-k}!} \right)
[/mm]
Jetzt habe ich somit auch das [mm] F_n! [/mm] drin, was ich brauche, nur wie lassen sich die f kürzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Vergiss meine Frage, ich kann ja jetzt die Hilfsgleichung einsetzen und es kürzt sich!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Schreib die Binomialkoeffizienten doch mal (gemäß Definition) aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:15 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Fulla |
> 3. Bestimmen Sie mit Maple oder Sage das dem Pascalschen
> Dreieck entsprechende Dreieck für die Fibonacci-Binomiale
> [mm]{n\choose k}_F,[/mm] 0 [mm]\le[/mm] n [mm]\le[/mm] 10.
>
> 4. Stellen Sie die i-te Zeile des Dreiecks aus 3. graphisch
> dar für i=6,8,10.
>
> 5. Bestimmen Sie [mm]{n\choose k}_F[/mm] für folgende Wahl von n
> und k:
> n:= Ihr Geburstag im Monat+12
> k:= Ihr Geburtsmonat.
> [mm]\bruch{F_n!}{F_k!F_{n-k}!} \right=\bruch{F_n!}{F_{n-k}!F_{n-(n-k)}!} \right[/mm]
>
> <=>
>
> [mm]\bruch{F_n!}{F_k!F_{n-k}!} \right=\bruch{F_n!}{F_{n-k}!F_k!} \right[/mm]
>
> Kommt mir zu einfach vor, aber passt natürlich.
>
> Hab noch weitere Aufgaben dazu, die sich aber auf den PC
> beziehen, ich schreib die einfach mal dazu, der
> Vollständigkeit halber, falls sie dich interessieren.
Ja, vielen Dank!
> Habe noch eine Frage zu der 3, ich verstehe nicht, was
> genau verlangt wird, also ich setzte für n Werte von 0 bis
> 10 ein und was mache ich mit k? Also geht jetzt nicht
> speziell um das Programm, sondern wüsste gerade auch
> nicht, was ich handschriftliche für k einsetzen müsste.
Du sollst ![[]](/images/popup.gif) Pascalsche Dreieck entwickeln, d.h. du musst [mm] $\binom{n}{k}_F$ [/mm] für alle [mm] $0\le n\le [/mm] 10$ und jeweils [mm] $0\le k\le [/mm] n$ berechnen und dann so anordnen wie auf der Wiki-Seite.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe aber nicht, wie ich da Fibonacci mit einfließen lasse, darf ich da nur die Zahlen von Fibonacci hernehmen und einsetzen, sprich 0,1,1,2,3,5,8...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Du hast die Fibonacci-Folge [mm]f_k[/mm] und damit sind die Fakultäten [mm]F_k![/mm] definiert worden. Und diese wiederum stecken in der Definition von [mm]\binom{n}{k}_F[/mm].
Der Witz an dieser Aufgabe ist ja gerade, dass man zur Berechnung der Fakultäten bzw. Binomialkoeffizienten nicht die Natürlichen Zahlen hernimmt, sondern nur Fibonacci-Zahlen einsetzt.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mi 28.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich weiß, ich stelle mich gerade an, aber kann mir das nicht vorstellen, also n wäre doch in meinem Fall alle Fibonacci-Zahlen, die zwischen 0 und 10 liegen, also:
0,1,2,3,5 und 8 oder?
k demensprechend dann auch, ich müsste also folgendes berechnen:
http://www.myimg.de/?img=img002bd3e4.jpg
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Do 29.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Vielleicht hab ich mich da missverständlich ausgedrückt...
Das n geht von 0 bis 10 (also alle natürlichen Zahlen) und k geht von 0 bis n. D.h. etwa für n=5 geht k von 0 bis 5.
Fibonacci steckt da in dem Sinne drin, dass es z.B. bei n=5 um die fünfte Fibonacci-Zahl geht - bzw. und das Produkt der ersten fünf F.-Zahlen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Do 29.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich kann mir einfach nicht vorstellen, wie das auszusehen hat, ansich wäre das doch dann einfach nur ein Teil des pascalschen Dreiecks oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 29.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Ja, nur mit dem Unterschied, dass beim "normalen" Pascalschen Dreieck der "normale" Binomialkoeffizient verwendet wird, also [mm]\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}[/mm].
Du sollst bei der Aufgabe das gleiche nur mit dem Fibonacci-Binomialkoeffizient machen, also mit [mm]\binom{n}{k}_F=\frac{F_n!}{F_k!\cdot F_{n-k}!}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Do 29.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe den Unterschied dabei aber nicht, wenn ich da z.B. n=4 nehme und k=2, da bekomme ich doch das gleiche raus wie beim normalen Binomialkoeffizienten oder nicht? Irgendwie hakt es da bei mir gerade in der Vorstellung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Do 29.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Ja, "zufälligerweise" gilt [mm]\binom{4}{2}=6=\binom{4}{2}_F[/mm], aber zum Beispiel ist
[mm]\binom{5}{2}=10\neq 15=\binom{5}{2}_F[/mm].
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 29.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Weil ich folgendes rechnen würde oder:
[mm] {5\choose 2}_F= \left( \bruch{F_5!}{F_2!*F_3!} \right)= \left( \bruch{1*1*2*3*5}{1*1*1*1*2} \right)
[/mm]
Wenn das stimmt, dann habe ichs begriffen, also ich nehme die gleichen Zahlen wie beim Pascalschen Dreieck, also die gleichen n über k, aber setze die in meine Gleichung für die Fibonaccis ein, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Do 29.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Ja, genau!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Do 29.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Endlich begriffen, ich danke dir für deine Geduld! Hast wirklich gut geholfen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mi 28.12.2011 | | Autor: | Fulla |
Ja, genau. Benutze jetzt die Hilfsgleichung.
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