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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:27 Sa 04.11.2006 | | Autor: | sorry_lb |
| Aufgabe | Die Fibonaccischen Zahlen [mm] f_{n} [/mm] sind definiert durch die Vorschrift [mm] f_{0} [/mm] = [mm] f_{1} [/mm] =1 und [mm] f_{n} [/mm] = [mm] f_{n-2} [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] für n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2. Zeigen Sie, dass die Zahlenfolge [mm] (a_{n}) [/mm] für n=1 gegen unendlich mit
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{ f_{n} }{ f_{n-1} } [/mm] konvergiert und Berechnen Sie den Grenzwert. |
Guten morgen.
Also wir haben als Tipp erhalten, die Rekursionsformel für die Berechnung der [mm] a_{n} [/mm] herzuleiten und zunächst zu zeigen, dass die Teilfolge [mm] (a_{2k}) [/mm] für k=1 gegen unendlich der geraden Glieder monoton fallend und beschränkt ist.
Und zu meiner Schande muss ich fragen, was ist die Rekursionsformel???
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Hallo Sorry,
die Rekursionsformel ist die hier:
$ [mm] f_{n} [/mm] $ = $ [mm] f_{n-2} [/mm] $ + $ [mm] f_{n-1} [/mm] $
sie heisst so, weil die Berechnung des Wertes für ein n auf die Berechnung kleinerer Werte zurückgeführt wird. Eigentlich ist die vollständige Rekursionsformel die hier:
$ [mm] f_{n} [/mm] = [mm] f_{n-2} [/mm] + [mm] f_{n-1} [/mm] + [n=1] $ (mit f(n)=0 für n [mm] \le [/mm] 0)
Das Glied [n=1] ist 1 für n=1 und 0 sonst.
Eigentlich musst Du das aber gar nicht wissen für Deinen Fall, weil du ja die Formel für große n anwendest, damit reicht die oben angegebene Formel schon aus.
Du musst also
[mm] \bruch {f_{n}} {f_{n-1}} [/mm] = [mm] \bruch {f_{n-1} + f_{n-2}} {f_{n-1}}
[/mm]
für große n betrachten.
Gruß
Jürgen
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http://www.wissenschaft-online.de/spektrum/projekt/quasi3.htm