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| Aufgabe | Elvira möchte Geld in ihre Weiterbildung investieren. Sie schätzt, dass sie für die geplanten Kursejeweils am Ende eines Jahres einen Betrag von 8655,- benötigen wird. Der aktuelle Saldo ihres Kontos lautet bei einem Zinssatz von 4,5% auf den Betrag von 42.350,50.
Während welchen Zeitraums kann Elvira ihre Weiterbildungskosten mit den Ersparnissen finanzieren? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo alle miteinander,
ich hoffe das ihr mir helfen könnt, denn irgendwie komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Ich vermute das diese Aufgabe eine geometrische Reihe beinhaltet, aber irgendwie komme ich damit nicht klar. Für das erste Jahr ist diese Formel ja ziemlich simpel (meine ich :o) ) und sollte ungefähr so aussehen:
(42350,50 - 8655) * 1,045
Mit der normalen Zineszins - Formel kann ich jetzt natürlich nicht mehr weiter rechnen, also habe ich mir überlegt, dass die Formel ungefähr so weitergehen muss (für das zweite Jahr):
(((42350,50 - 8655) * 1,045) - 8655) * 1,045
Und diese Formel kann nun auch so weiter ausgeführt werden, doch ich denke da muss es doch auch soetwas wie eine Formel geben und da habe ich dann mal in folgendem Buch geblättert:
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler von Knut Sydsaeter und Peter Hammond erschienen im Pearson Studium - Verlag
Und dort habe ich dann etwas über geometrische Reihen gefunden, nur habe ich keine Ahnung wie ich die auf dieses Problem anwenden kann. Könnte mir da jemand helfen?
Nachtrag: ich habe auf dem Fußweg herausbekommen, dass Elvira mit dem Geld 5 Jahre lang ihre Weiterbildung finanzieren kann und anschließend noch circa 3296,73 auf ihrem Konto hat.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sascha,
ich interpretiere die Aufgabe etwas anders als du, was aber nicht heißen soll, dass deine Interpretation falsch ist. 
Zunächst mal ein paar Konstanten, damit die Sache überschaubarer wird.
Sei mal
[mm] $K_0$ [/mm] das Grundkapital von 42.350,50 EUR,
$G$ die jährliche Kursgebühr von 8.655 EUR,
und $p$ soll die Zinsen beschreiben: $p=1,045$.
In der Aufgabe steht, dass die erste Kursgebühr am Ende des Jahres bereitstehen muss, deshalb denke ich -anders als du-, dass die Bank das Kapital im dem Jahr, bevor die Weiterbildung beginnt, noch voll verzinst.
Der Kontostand während des ersten Weiterbildungsjahres beträgt also
[mm] $K_1=K_0\cdot [/mm] p-G$.
Der Kontostand während des zweiten Weiterbildungsjahres beträgt dann
[mm] $K_2=K_1\cdot p-G=\left(K_0\cdot p-G\right)\cdot p-G=K_0\cdot p^2-G\cdot [/mm] p-G$.
Der Kontostand während des dritten Weiterbildungsjahres beträgt
[mm] $K_3=K_2\cdot p-G=\left(K_0\cdot p^2-G\cdot p-G\right)\cdot p-G=K_0\cdot p^3-G\cdot p^2-G\cdot [/mm] p-G$ usw.
Der Kontostand während des n-ten Weiterbildungsjahres beträgt
[mm] $K_n=K_{n-1}\cdot p-G=K_0\cdot p^n-G\cdot p^{n-1}-G\cdot p^{n-2}-\ldots-G\cdot p^2-G\cdot [/mm] p-G$.
(Das müsste man allerdings sauber per Induktion beweisen - was ich jetzt hier gemacht habe, sollte nur der Veranschaulichung dienen!)
Und den letzten Term können wir noch vereinfachen:
[mm] $K_n=K_0\cdot p^n-G\cdot p^{n-1}-G\cdot p^{n-2}-\ldots-G\cdot p^2-G\cdot [/mm] p-G$
[mm] $=K_0\cdot p^n-G\cdot\left(p^{n-1}+p^{n-2}+\ldots+p^2+p+1\right)$.
[/mm]
Erkennst du jetzt die geometrische Reihe?
Wenn man nun die Formel für die geometrische Reihe benutzt, und das Ergebnis noch ein bisschen vereinfacht, müsste man (das habe ich noch nicht gemacht!) ein maximales [mm] $n\in\IN$ [/mm] ausrechnen können, für das gilt:
[mm] $K_n\ge [/mm] 0$.
In dem Fall konnte die Kursgebühr nämlich gerade noch bezahlt werden; die Weiterbildung ist damit aber beendet.
Frag' bitte nochmal nach, wenn dir etwas unklar ist, ok? 
MFG,
Yuma
EDIT: Sorry, Sascha, ich habe die Antwort nochmal etwas umschreiben müssen - die erste Version war leider etwas missverständlich formuliert!
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Hallo Yuma,
danke für die schnelle Antwort. Ich habe jetzt versucht das mal in die Formel für die geometrische Reihe umzuformen, welche da lautet (angepasst an die Variablen in deiner Antwort) :
[mm] K_{0} \cdot \frac{p^{n} - 1}{p - 1}
[/mm]
Dies ist die "normale" Formel. Da ich ja nun aber Geld "verliere", muss ich die Formel ein wenig umbauen:
[mm] K_{n} [/mm] = [mm] K_{0} \cdot p^{n} [/mm] - G [mm] \cdot \pmat{\frac{p^{n} - 1}{p - 1} }
[/mm]
Nachdem ich das getan habe, muss ich nun die Variablen mit Werten füllen und nach n auflösen, und zwar so dass [mm] K_{n} \ge [/mm] 0 [mm] \wedge K_{n} [/mm] < G
Das wird dann ungefähr so aussehen:
[mm] K_{n} [/mm] = 42.350,50 [mm] \cdot 1,045^{n} [/mm] - 8655 [mm] \cdot \pmat{\frac{1,045^{n} - 1}{1,045 - 1} }
[/mm]
[mm] K_{n} [/mm] = 42.350,50 [mm] \cdot 1,045^{n} [/mm] - 8655 [mm] \cdot \pmat{\frac{1,045^{n} - 1}{0,045} }
[/mm]
nun komme ich allerdings nicht weiter, denn ich habe 2 unbekannte in meiner Gleichung. Kann ich nun für [mm] K_n [/mm] einfach einen Wert [mm] \ge [/mm] 0 und < G einsetzen und dann nach n auflösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Mi 07.02.2007 | | Autor: | Yuma |
Hallo Sascha,
> [mm]K_{n} =K_{0} \cdot p^{n} - G \cdot \pmat{\frac{p^{n} - 1}{p - 1} }[/mm]
Die Formel ist korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nachdem ich das getan habe, muss ich nun die Variablen mit
> Werten füllen und nach n auflösen, und zwar so dass
> [mm]K_{n} \ge 0\wedge K_{n} < G[/mm]
Die zweite Bedingung ist falsch... das ist ja schon für $n=1$ nicht erfüllt!
EDIT: Wir suchen das größte [mm] $n\in\IN$, [/mm] für das [mm] $K_n\ge [/mm] 0$ gilt, d.h. für dieses $n$ muss [mm] $K_{n+1}<0$ [/mm] sein (sonst könnte man ja noch ein weiteres Jahr finanzieren!). Da die Folge [mm] $K_n$ [/mm] streng monoton fällt, können wir auch einfach die "Nullstelle", d.h. das [mm] $n\in\IR$ [/mm] berechnen, für das die "Funktion" $K(n)$ gleich Null wird. Aber dazu später mehr!
Ich würde weiterhin noch mit den Konstanten rechnen:
[mm] $K_n=K_0\cdot p^n-G\cdot\frac{p^n-1}{p-1}$
[/mm]
[mm] $=K_0\cdot p^n-\frac{G}{p-1}\cdot\left(p^n-1\right)$
[/mm]
[mm] $=K_0\cdot p^n-\frac{G}{p-1}\cdot p^n+\frac{G}{p-1}$
[/mm]
[mm] $=\left(K_0-\frac{G}{p-1}\right)\cdot p^n+\frac{G}{p-1}$.
[/mm]
Wenn wir das jetzt gleich $0$ setzen, erhalten wir
[mm] $K_n=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\left(K_0-\frac{G}{p-1}\right)\cdot p^n+\frac{G}{p-1}=0$
[/mm]
[mm] $\gdw\left(K_0-\frac{G}{p-1}\right)\cdot p^n=-\frac{G}{p-1}$
[/mm]
[mm] $\gdw p^n=\frac{\frac{G}{p-1}}{\frac{G}{p-1}-K_0}$
[/mm]
[mm] $\gdw p^n=\frac{G}{G-K_0\cdot\left(p-1\right)}$.
[/mm]
Spätestens jetzt sollte man aber die Zahlwerte einsetzen!
Man erhält dann eine Gleichung der Form [mm] $a^x=b$, [/mm] und die kannst du bestimmt lösen. Zur Kontrolle: Ich erhalte [mm] $n\approx [/mm] 5,6503$, d.h. die Dame kann die Weiterbildung 5 Jahre lang finanzieren!
Viel Spaß beim Nachrechnen! Ich schau' heute Abend nochmal hier vorbei, falls es noch Fragen gibt, ok?
MFG,
Yuma
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Hallo Yuma,
ich habe mir das mal alles angeschaut und es scheint mir alles so plausibel, dass ich mich frage, warum ich das nicht direkt so gemacht habe :o).
Ich habe das gleiche Ergebnis wie du herausbekommen, also n [mm] \approx [/mm] 5,6503.
So nun geht es in die Mathestunde und ich werde mal die Lösung vorstellen, denn nur so erkennt man, ob man alles verstanden hat.
Vielen Dank nochmals :o)
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