Finden eines lin. GS < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Also folgende Frage:
Gibt es einen generellen Lösungsweg wie man bei gegebenen Lösungsmengen(z.B. 3 Lösungen mit 4 Variablen) ein dazu passendes LGS erstellen kann?
Ich suche also ein Gleichungssystem, dass am Ende drei verschiedene Lösungen hat(die mir ja vorgegeben sind). Allein durch probieren gehts ja leider nicht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Fr 06.04.2007 | | Autor: | wauwau |
Wenn du die Lösungen kennst dann einfach
x+y+z=
x+2y+z=
x+y+2z=
die Lösungen eingesetzt ergibt das konstante Glied der einzelnen Gleichungen...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Mo 09.04.2007 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Ich habe bspw. die Lösungen {(-1,0,2,-1), (3,1,0,2), (2,1,2,1)} .
Mir ist nicht klar, wie ich jetzt die einzelnen Werte einsetzen muss, um dann das dazugehörige GS zu erstellen.
Zudem ist noch die Frage gestellt, aus wievielen Gleichungen so ein System, das ja zu finden ist, mindestens bestehen muss? Kann man das mathematisch geschickt formulieren?
Ich vermute, aus der Basis (Zahl der voneinander linear unabhängiger Vektoren) - ist das richtig?
Grüße und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 10.04.2007 | | Autor: | unknown |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Zudem ist noch die Frage gestellt, aus wievielen
> Gleichungen so ein System, das ja zu finden ist, mindestens
> bestehen muss? Kann man das mathematisch geschickt
> formulieren?
>
> Ich vermute, aus der Basis (Zahl der voneinander linear
> unabhängiger Vektoren) - ist das richtig?
Ja. Du kannst hier die Dimensionsformel für lineare Abbildungen benutzen. Für eine $m\times n$-Matrix $A$ über irgendeinem Körper $K$ ist ja $\phi(v) := A\cdot v$ eine lineare Abbildung von $K^n$ nach $K^m$. Die Dimensionsformel sagt nun
$\underbrace{\mathrm{dim}\; K^n}_{= n} = \underbrace{\mathrm{dim}\;\mathrm{Bild}\;\phi}_{= \mathrm{Rang}\;A} + \mathrm{dim}\;\mathrm{Kern}\;\phi}.$
Hierbei ist die Dimension des Kernes (also der Lösungsmenge von $A x = 0$) von Dir vorgegeben. Wenn $u$ die Anzahl der linear unabhängigen Lösungen ist (also bei Dir die Dimension von $\mathrm{Spann}(M)$), dann muss der Rang von $A$ also genau $r := n - u$ sein, und dafür braucht $A$ mindestens $r$ Zeilen.
> Ich habe bspw. die Lösungen {(-1,0,2,-1), (3,1,0,2),
> (2,1,2,1)} .
> Mir ist nicht klar, wie ich jetzt die einzelnen Werte
> einsetzen muss, um dann das dazugehörige GS zu erstellen.
Eine Methode, die mir einfällt, ist es, das Gram-Schmidt-Verfahren zu benutzen. Dafür bestimmst Du erstmal eine Basis von $M := {(-1,0,2,-1), (3,1,0,2), (2,1,2,1)}$ und ergänzt diese zu einer Basis $\mathfrak{B}$ von $\IQ^n$. Hier kann man z.B.
$\mathfrak{B} = (-1,0,2,-1), (3,1,0,2), (1,0,0,0), (0,1,0,0)$
wählen. Darauf wendest Du das Gram-Schmidt-Verfahren an, um eine neue Basis $\mathfrak{G}$ zu erhalten. Im Beispiel habe ich (OK, Maple)
$\mathfrak{G} = (-1,0,2,-1), (13,1,10,7), (21,-13,-2,-25), (0,16,-4,-8)$
heraus. Die Basisvektoren $u+1,\ldots,n$ in $\mathfrak{G}$ mit $u = \mathrm{dim}\;\mathrm{Spann}(M)$ werden dann als Zeilen in eine Matrix $A$ geschrieben, das wäre im Beispiel dann
$A = \pmat{21 & -13 & -2 & -25 \\ 0 & 16 & -4 & -8 }.$
Wegen der Eigenschaften des Gram-Schmidt-Verfahrens gilt dann $A v = 0$ für alle $v \in M$ und $A v \neq 0$ für $v \notin \mathrm{Spann}(M)$.
Hoffe, das hilft.
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