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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mo 03.12.2007 | | Autor: | cutter |
| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem
log(1 + y) − 2x = 0
sin(x) cos(y) − 4y + 1 = 0
für (x, y) [mm] \in [/mm] D := [0, [mm] \frac{1}{4} [/mm] ] × [0, [mm] \frac{1}{2}].
[/mm]
Zeige, dass dieses Gleichungssystem genau eine Lösung in D besitzt. |
Ich habe mir das Problem aus der Sicht des Fixpunktsatzes von Brouwer angeschaut.
Und eine Fkt F(x,y)=(log(1 + y) − 2x ,sin(x) cos(y) − 4y + 1) aufgestellt. Hiermit komm ich nicht weiter.
Auch wenn ich die Funktionen einzeln betrachte erhalte ich keine Lösung.
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Mo 03.12.2007 | | Autor: | cutter |
Habs nun mit dem Banachschne Fixpkt-satz probiert und es hat eigentlich geklappt. Kann das sein ? ... :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
also über den Banachschen Fixpunktsatz kannst Du das natürlich auch zeigen. Du musst dazu eben zeigen, dass die Abbildung auf dieser von dir angegebenen Menge eine Selbstabbildung ist und dass sie zudem die Kontraktionseigenschaft erfüllt. Dann erhälst Du daraus die Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Di 04.12.2007 | | Autor: | cutter |
Jep. Das hab ich auch gemacht und hat auch wohl geklappt.
2 Fragen:
Folgt die Eindeutikeit direkt aus dem Satz ?
Mit welcher Methode koennte ich noch rechnen ?
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Di 04.12.2007 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
zu (1): Ja, der Satz gibt dir Existenz und Eindeutigkeit eines Fixpunktes. Siehe mal auf dieser Seite
http://de.wikipedia.org/wiki/Banachscher_Fixpunktsatz
zu (2): Natürlich kannst Du auch andere Fixpunktsätze verwenden. Du musst bei den verschiedenen Fixpunktsätzen nur schauen, dass Du die Voraussetzungen zeigen kannst. Such einfach mal unter
www.wikipedia.de
nach "Fixpunktprobleme". Da werden einige aufgeführt.
Gruß Denny
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