Fixpunkt einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Do 19.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | | Ist f: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b] stetig, so gibt es ein [mm] \xi \in [/mm] [a,b] mit [mm] f(\xi)=\xi [/mm] . Der Punkt heißt Fixpunkt der Funktion f. (Hinweis: betrachten Sie die Funktion g(x)=f(x)-x ) |
Meine Überlegungen dazu sind:
augehend von dem Hinweis: muß der Wert von g(x) (im Intervall)oder zwischen: [mm] a-\max(f(a)) [/mm] ( a minus dem größten Wert von f(a) im schlechtesten Fall) und [mm] b-\min(f(b)) [/mm] (b minus dem größten Wert von f(b)im schlechtesten Fall)
[mm] \Rightarrowa-\max(f(a))\le0 [/mm] und [mm] b-\min(f(b))\le0 \Rightarrow
[/mm]
[mm] \exists [/mm] x,g(x)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=x
liege ich da richtig und wenn ja wie kann man das eventuell eleganter und mathematisch korrekter zeigen?
Danke
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Do 19.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist f: [a,b] [mm]\to[/mm] [a,b] stetig, so gibt es ein [mm]\xi \in[/mm] [a,b]
> mit [mm]f(\xi)=\xi[/mm] . Der Punkt heißt Fixpunkt der Funktion f.
> (Hinweis: betrachten Sie die Funktion g(x)=f(x)-x )
> Meine Überlegungen dazu sind:
>
> augehend von dem Hinweis: muß der Wert von g(x) (im
> Intervall)oder zwischen: [mm]a-\max(f(a))[/mm] ( a minus dem
> größten Wert von f(a) im schlechtesten Fall)
wieso [mm] $a-\red{\max}(f(a))$? [/mm] Es ist [mm] $\max(f(a))=f(a)$! [/mm] Entweder meinst Du nicht [mm] $\max(f(a))\,,$ [/mm] sondern [mm] $\max_{y \in [a,b]}(f(y))\,,$ [/mm] oder Du meinst nur [mm] $f(a)\,.$ [/mm] Letzteres wäre hier die bessere Variante.
> und
> [mm]b-\min(f(b))[/mm] (b minus dem größten Wert von f(b)im
> schlechtesten Fall)
Wieso [mm] $b-\red{\min(f(b))}$? [/mm] Analog zu oben!
> [mm]\Rightarrowa-\max(f(a))\le0[/mm] und [mm]b-\min(f(b))\le0 \Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\exists[/mm] x,g(x)=0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)=x
>
> liege ich da richtig und wenn ja wie kann man das eventuell
> eleganter und mathematisch korrekter zeigen?
>
> Danke
Wegen der Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] ist auch [mm] $g\,$ [/mm] stetig (auf [mm] $[a,\,b]$). [/mm] Zudem gilt $g(b)=f(b)-b [mm] \le 0\,,$ [/mm] da nach Voraussetzung insbesondere $f(b) [mm] \in [/mm] [a,b]$ und damit zudem insbesondere $f(b) [mm] \le [/mm] b$ ist.
Wieso gilt nun $g(a) [mm] \ge [/mm] 0$? (Ich glaube, Du wolltest oben [mm] $f(a)-\blue{a} \red{\le} [/mm] 0$ schreiben, aber hier gilt nicht [mm] $\red{\le}$, [/mm] sondern?)
Nun solltest Du noch begründen, dass [mm] $g\,$ [/mm] eine Nullstelle haben muss (offensichtlich hilft Dir dabei nun ![[]](/images/popup.gif) dieser Satz  ). Dann existiert also ein [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $g(\xi)=0\,.$ [/mm] Also folgt [mm] $f(\xi)-\xi=0$ [/mm] und daraus folgt nun?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Do 19.11.2009 | | Autor: | Steirer |
>
> Wegen der Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] ist auch [mm]g\,[/mm] stetig (auf
> [mm][a,\,b][/mm]). Zudem gilt [mm]g(b)=f(b)-b \le 0\,,[/mm] da nach
> Voraussetzung insbesondere [mm]f(b) \in [a,b][/mm] und damit zudem
> insbesondere [mm]f(b) \le b[/mm] ist.
Wie kommst du darauf das f(b) [mm] \le [/mm] b ist? es könnte doch auch [mm] f(b)\ge [/mm] b sein, jenachdem wie die funktion verläuft oder?
ich habe mir die wikipedia seite angeschaut und darin ist die antwort eigentlich schon enthalten soweit ich das sehe.
[mm] \exists [/mm] zu jedem x [mm] \in[f(a),f(b)] [/mm] (wenn f(b) >f(a) ist) ein [mm] x\in [/mm] [a,b] mit f(x)=x
dann kann man sich eine funktion g(x), [mm] x\mapsto [/mm] f(x)-x konstruieren mit den folgenden eingenschaften: g(a)<g(b) und [mm] g(a)\le [/mm] 0 [mm] \le [/mm] g(b)die einen nullpunkt hat x [mm] \in[a,b] [/mm] g(x)=0
wenn ich jetzt in den Hinweis von der Angabe einsetze: g(x)=f(x)-x
g(x)=f(x)-x
g(x)=x-x
g(x)=0
damit weis ich dann das ein fixpunkt an der stelle x existiert da f(x)=x
> Wieso gilt nun [mm]g(a) \ge 0[/mm]? (Ich glaube, Du wolltest oben
> [mm]f(a)-\blue{a} \red{\le} 0[/mm] schreiben, aber hier gilt nicht
> [mm]\red{\le}[/mm], sondern?)
>
> Nun solltest Du noch begründen, dass [mm]g\,[/mm] eine Nullstelle
> haben muss (offensichtlich hilft Dir dabei nun
> dieser Satz
> ). Dann existiert also ein [mm]\xi \in [a,b][/mm] mit
> [mm]g(\xi)=0\,.[/mm] Also folgt [mm]f(\xi)-\xi=0[/mm] und daraus folgt nun?
>
> Gruß,
> Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Do 19.11.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> >
> > Wegen der Stetigkeit von [mm]f\,[/mm] ist auch [mm]g\,[/mm] stetig (auf
> > [mm][a,\,b][/mm]). Zudem gilt [mm]g(b)=f(b)-b \le 0\,,[/mm] da nach
> > Voraussetzung insbesondere [mm]f(b) \in [a,b][/mm] und damit zudem
> > insbesondere [mm]f(b) \le b[/mm] ist.
> Wie kommst du darauf das f(b) [mm]\le[/mm] b ist? es könnte doch
> auch [mm]f(b)\ge[/mm] b sein, jenachdem wie die funktion verläuft
> oder?
nein. Nach Voraussetzung ist ja die (stetige) Funktion [mm] $f\,$ [/mm] eine Abbildung [mm] $[a,\,b] \to \blue{[a,\,b]}\,.$ [/mm] Somit gilt $f(x) [mm] \in \blue{[a,\,b]}$ [/mm] für jedes $x [mm] \in [a,\,b]\,,$ [/mm] insbesondere gilt auch $f(a) [mm] \in [a,\,b]$ [/mm] und $f(b) [mm] \in [a,\,b]\,,$ [/mm] also zudem [mm] $\green{a \le f(a)} \le [/mm] b$ und $a [mm] \le \green{f(b) \le b}\,.$ [/mm] Die grünmarkierten Ungleichungen sind die, von denen wir später Gebrauch machen werden!
> ich habe mir die wikipedia seite angeschaut und darin ist
> die antwort eigentlich schon enthalten soweit ich das sehe.
Die Antwort läßt sich damit folgern, aber:
> [mm]\exists[/mm] zu jedem x [mm]\in[f(a),f(b)][/mm] (wenn f(b) >f(a) ist)
> ein [mm]x\in[/mm] [a,b] mit f(x)=x
das ist Unsinn. Du darfst nicht die Variable aus $[f(a),f(b)]$ mit der aus $[a,b]$ gleichsetzen. Du könntest sagen:
Zu jedem $y [mm] \in [/mm] [f(a),f(b)]$ existiert (mind.) ein [mm] $x=x_y \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(x)=y\,$ [/mm] (sofern $a [mm] \le [/mm] b$ und $f(a) [mm] \le [/mm] f(b)$ ist). Aber das hilft Dir hier so nichts bzgl. der zu beweisenden Behauptung. Dafür werden wir den ZWS auch nicht auf die Ausgangsfunktion [mm] $f\,$, [/mm] sondern auf die Hilfsfunktion [mm] $g\,$ [/mm] anwenden müssen, um die behauptete Aussage für [mm] $f\,$ [/mm] zu beweisen! Mache Dir das bitte alles deutlich klar!
> dann kann man sich eine funktion g(x), [mm]x\mapsto[/mm] f(x)-x
> konstruieren mit den folgenden eingenschaften: g(a)<g(b)
> und [mm]g(a)\le[/mm] 0 [mm]\le[/mm] g(b)die einen nullpunkt hat x [mm]\in[a,b][/mm]
> g(x)=0
Wie: Eine solche konstruieren? Die Funktion [mm] $g\,$ [/mm] wurde doch schon angegeben. Wenn Du ganz streng argumentierst:
Die Funktion $h: [a,b] [mm] \to [/mm] [a,b]$ mit $h(x):=x$ ($x [mm] \in [/mm] [a,b]$) ist stetig. Ebenso ist [mm] $f\,$ [/mm] stetig. Als Differenz zweier stetiger Funktonen ist damit $g: [a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $g(x):=f(x)-x$ ($x [mm] \in [/mm] [a,b]$) stetig. Ferner haben wir oben $g(a) [mm] \ge [/mm] 0$ und $g(b) [mm] \le [/mm] 0$ gesehen. Wegen der Stetigkeit von [mm] $g\,$ [/mm] gilt nach dem ZWS (dieser wird auf [mm] $g\,$ [/mm] (!!!) angewandt):
Für jedes $y [mm] \in [/mm] [g(b),g(a)]$ existiert (mindestens) ein [mm] $x=x_y \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $g(x)=y\,.$ [/mm] Wegen $g(b) [mm] \le [/mm] 0$ und $g(a) [mm] \ge [/mm] 0$ ist aber $0 [mm] \in [g(b),g(a)]\,.$
[/mm]
> wenn ich jetzt in den Hinweis von der Angabe einsetze:
> g(x)=f(x)-x
> g(x)=f(x)-x
> g(x)=x-x
??? Wieso kannst Du hier $f(x)=x$ benutzen? Mir ist unklar, was Du hier machst bzw. machen willst.
P.S.:
Damit Du den ZWS so, wie er in Wiki steht, auch wortgetreu (unten: auf [mm] $\tilde{g}$(!!!)) [/mm] anwenden kannst, benutze nicht die Funktion [mm] $g\,$, [/mm] sondern [mm] $\tilde{g}:=-g\,.$ [/mm] D.h.:
Setze [mm] $\tilde{g}: [/mm] [a,b] [mm] \to \IR\,,$ $\tilde{g}(x):=x-f(x)$ [/mm] ($x [mm] \in [/mm] [a,b]$). Wegen $f(a) [mm] \ge [/mm] a$ ist dann [mm] $\tilde{g}(a) \le [/mm] 0$ und wegen $f(b) [mm] \le [/mm] b$ ist [mm] $\tilde{g}(b) \ge 0\,.$ $\tilde{g}$ [/mm] ist als Differenz zweier auf [mm] $[a,\,b]$ [/mm] stetiger Funktionen (dort) auch stetig. Also existiert nach dem ZWS zu jedem $y [mm] \in [\tilde{g}(a),\tilde{g}(b)]$ [/mm] (mindestens) ein [mm] $x=x_y \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $\tilde{g}(x)=y\,.$ [/mm] Insbesondere ist wegen [mm] $\tilde{g}(a) \le [/mm] 0$ und [mm] $\tilde{g}(b) \ge [/mm] 0$ auch $0 [mm] \in [\tilde{g}(a),\tilde{g}(b)]$. [/mm] Also finden wir zu $y=0$ (mind.) ein [mm] $x=x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $\tilde{g}(x_0)=0\,$ [/mm] und damit [mm] $x_0-f(x_0)=0\,.$ [/mm] Mit [mm] $\xi:=x_0$ [/mm] haben wir dann (ein) [mm] $\xi \in [/mm] [a,b]$ mit [mm] $f(\xi)=\xi$ [/mm] gefunden.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Do 19.11.2009 | | Autor: | Steirer |
Danke für diese präzise Antwort. Jetzt hab ich das ganze verstanden.
lg
|
|
|
|
