Fixpunktproblem V2 < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] f(x)=x-\bruch{3x^2}{6x}-2
[/mm]
Stellen Sie das Fixpunktproblem für obige Funktion auf.
Berechnen Sie die Fixpunkte.
Formulieren sie das Fixpunkt- in das äquivalente Nullstellenproblem um und lösen Sie auch dieses exakt!
Wie sieht die zu diesem äquivalenten Nullstellenproblem gehörige rekursive Definition der Newton-Rapheon-Iteration zur Nullstellenbestimmung aus? Setzen Sie dabei die zum Nullstellenproblem gehörige Funktion ein!
Lösen Sie dabei, wenn vorhanden, alle Doppelbrüche auf! |
Meine Fragen richten sich jetzt vorallem darauf zu verstehen was ich eigentlich tue.
Zuerst kürze ich mal die Funktion, ergibt: [mm] \bruch{x}{2}-2
[/mm]
Fixpunkte berechne ich wenn f(x) = x gilt.
Warum multipliziere ich da mit x um die Fixpuntke zu erhalten?
Solveergebnis ist dann, x = 4 ∨ x = 0
Was sagen mir die Fixpunkte jetzt aus?
f(x)-x ergibt das Nustellenproblem
[mm] \bruch{x}{2}-2-x [/mm] = -4
der Graph ist eine Gerade und geht durch -4
Was hat das ganze mit den Fixpunkten zu tun?
Bei der Newton-Rapheon-Iteration:
Wenn ich zB. -3.9 einsetze, komme ich auf den exakten -4 Wert, ich dacht das funktioniert nur Näherungsweise nicht exakt?! Hat es vl damit etwas zu tun, dass es nur eine Nullstelle gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Sa 26.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast ja die Funktion [mm] f(x)=x-\bruch{3*x^2}{6*x}-2 [/mm] umgeformt in [mm] f(x)=\bruch{x}{2}-2
[/mm]
Das Fixpunktproblem lautet also f(x)=x und das Nullstellenproblem also
[mm] g(x)=-\bruch{x}{2}-2 [/mm] es gilt [mm] \bruch{d}{dx}g(x_n)=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Das Newton Verfahren für g(x) sieht also so aus
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{g(x_n)}{\bruch{d}{dx}g(x_n)} [/mm]
Alles eingesetzt ergibt
[mm] x_{n+1}=x_n-\bruch{-\bruch{x_n}{2}-2}{-\bruch{1}{2}}=-4
[/mm]
In diesem Fall konvergiert das Newton Verfahren also schon nach einem Schritt gegen die richtige Lösung.
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> [mm]f(x)=x-\bruch{3x^2}{6x}-2[/mm]
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> Stellen Sie das Fixpunktproblem für obige Funktion auf.
> Berechnen Sie die Fixpunkte.
>
> Formulieren sie das Fixpunkt- in das äquivalente
> Nullstellenproblem um und lösen Sie auch dieses exakt!
>
> Wie sieht die zu diesem äquivalenten Nullstellenproblem
> gehörige rekursive Definition der
> Newton-Rapheon-Iteration zur Nullstellenbestimmung aus?
> Setzen Sie dabei die zum Nullstellenproblem gehörige
> Funktion ein!
> Lösen Sie dabei, wenn vorhanden, alle Doppelbrüche auf!
> Meine Fragen richten sich jetzt vorallem darauf zu
> verstehen was ich eigentlich tue.
>
> Zuerst kürze ich mal die Funktion, ergibt: [mm]\bruch{x}{2}-2[/mm]
>
> Fixpunkte berechne ich wenn f(x) = x gilt.
> Warum multipliziere ich da mit x um die Fixpunkte zu
> erhalten?
Aha, ja. Gute Frage. Aber die solltest du dir selber stellen !
> Solveergebnis ist dann, x = 4 ∨ x = 0 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Interessant ... und wie genau kommt man denn zu
diesen Lösungen, insbesondere auf die zweite Lösung x=0 ???
(und als Nebenfrage: bemühst du für eine solche
Gleichung wirklich ein SOLVE-Programm ?)
> Was sagen mir die Fixpunkte jetzt aus?
>
> f(x)-x ergibt das Nustellenproblem
>
> [mm]\bruch{x}{2}-2-x[/mm] = -4 ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
>
> der Graph ist eine Gerade und geht durch -4
der Graph welcher Funktion geht durch welchen Punkt ?
> Was hat das ganze mit den Fixpunkten zu tun?
>
> Bei der Newton-Rapheon-Iteration:
>
> Wenn ich zB. -3.9 einsetze, komme ich auf den exakten -4
> Wert, ich dacht das funktioniert nur Näherungsweise nicht
> exakt?! Hat es vl damit etwas zu tun, dass es nur eine
> Nullstelle gibt?
Die Aufgabe erscheint wirklich ein wenig seltsam. Man
fragt sich, was das Brimborium mit "Fixpunktproblem"
und "Nullstellenproblem" soll, wo es eigentlich um eine
simple lineare Funktion geht (allerdings mit einer Aus-
nahmestelle bei x=0) .
Natürlich führt das Newton (-Rap-Heyonius) Verfahren
bei einer linearen Funktion schon in einem einzigen
Schritt zum Ziel.
Erwartet der Lehrer möglicherweise, dass die "Dummen"
die Ableitung des Terms [mm] \bruch{3x^2}{6x} [/mm] auf mühsame Weise
mittels Quotientenregel durchführen ? ...
LG Al-Chw.
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Vielen Dank, die Nullstellenverstehe ich jetzt sehr gut!
Aber wegen der Fixpunkte, verstehe ich nicht ganz, was kann ich mir unter Fixpunkten vorstellen?
Und bei der ersten Aufgabe, wie ich für die Funktion ein Fixpunktproblem aufstelle, verstehe ich nicht die Rechenschritte...
Es gilt f(x) = x
Ich habe f(x) = [mm] \bruch{x}{2}-2
[/mm]
Dann müsste doch [mm] \bruch{x}{2}-2 [/mm] = x die Gleichung sein
was ergeben müsste:
[mm] \bruch{x}{2}-2-x [/mm] =0 und das ist ja nicht korrekt
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> [mm]\bruch{x}{2}-2-x[/mm] =0 und das ist ja nicht korrekt
weshalb denn ??
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Weil ich als Lösung dann die Nullstelle bekomme und keine Fixpunkte?
x = -4
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 So 27.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fixpunkt: Was tut eine Funktion allgemein? sie bildet alle Punkte x des Definitionsgebietes auf Punkte f(x) der Wertemenge ab.
im Allgemeinen wird dabei aus x ein anderer Wert,
[mm] f(x)=x^2 [/mm] aus 0 wird 0 aus 1/2 wird 1/4 aus 2 wird 4 usw. Es gibt aber hier 2 Punkte die sich nicht ändern bei [mm] f(x)=x^2 [/mm] ist das x=1 und x=0 denn [mm] 0^2=0 [/mm] und [mm] 1^2 [/mm] =1 das kann man ohne Rechnung sehen.
wenn f(x) komplizierter wird sieht man es vielleicht nicht mehr so leicht
dein Funktion f(x)=x/2-2 kann man vielleicht noch raten wenn man f(-4) bildet hat man f(-4)-4/2-2=-4 also ist x=-4 ein Fixpunkt,
ausrechnen kann man ihn falls es ihn gibt wenn man einfach sagt f(x)=x
Die Rechnung ist dann dieselbe, wie wenn man die Nullstelle der neuen Funktion g(x)=f(x)-x berechnet,
du solltest aber nochmal nachsehen, ob du die richtige funktion geschrieben hast, denn die einfache funktion x/2-2 so komliziert anzugeben sieht doch recht sinnlos aus.
gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 So 27.03.2011 | | Autor: | downandout |
Vielen Dank, sehr gut und ausführlich erklärt! Perfekt ich glaube ich verstehe jetzt besser ;)
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