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| Aufgabe | 1) [mm] x^{5}+5x-1=0
[/mm]
a) Zeigen Sie: Diese Gleichung hat genau eine reelle Nullstelle [mm] x_{n} [/mm] und [mm] x_{n} [/mm] liegt in (1,(1/2)).
b) Zeigen Sie: Auf die gleichwertige Fixpunktgleichung [mm] x=(1/5)-(1/5)x^{5}=T(x) [/mm] lässt sich der Fixpunktsatz (FPS) anwenden.
c) Berechnen Sie die Näherungswerte [mm] x_{1}, x_{2} [/mm] für [mm] x_{n}, [/mm] die sich aus dem Fixpunktverfahren mit Startwert [mm] x_{0}=0,5 [/mm] ergeben.
d) Geben Sie mit der Fehlerabschätzung aus dem FPS eine Abschätzung für den Fehler [mm] |x_{n}- x_{2}| [/mm] an. |
Hallo,
mit dieser Aufgabe habe ich so einige Probleme.
zu a)
Also, [mm] F(x)=x^{5}+5x-1 [/mm] Ich habe hier schon sehr lange überlegt, aber irgendwie komme ich zu keinem Ergebnis. Die Funktion ist > 0 auf jeden Fall für x > (1/2) und die Funktion ist < 0 für alle x < 0. Nun weiß ich aber nicht, wann die Funktion = 0 ist, da ich diese Fuktion 5.Grades nicht lösen kann. Wie ist das denn möglich, da ein Ergebnis zu bekommen? Und reicht das überhaupt, das so zu zeigen? Eigentlich ist doch dann so gezeigt, dass es keine weitere Nullstelle geben kann, oder?
zu b)
Der Fixpunktsatz hat folgende Schritte:
1) "in sich" (D bestimmen mit TD [mm] \le [/mm] D)
2) Existenz eines Fixpunktes in D
3) Kontraktion auf D
Existenz eines Fixpunktes: f(0)=(1/5) und f(1/2)=0,194 In diesem Intervall ist der Fixpunkt also nicht, denn dann müsste doch ein Wert größer 0 sein und ein Wert kleiner, oder?
Also ist der Fixpunkt in einem anderen Intervall, aber woher soll ich das denn kennen? Mache ich hier irgendeinen entscheidenden Denkfehler?
Muss man sich das Intervall selbst überlegen? Also könnte ich etwa nehmen (-2,2) ?
Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte. Vielleich komme ich dann auch weiter mit der Kontraktion und so..
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:47 Mo 22.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Anna
> 1) [mm]x^{5}+5x-1=0[/mm]
> a) Zeigen Sie: Diese Gleichung hat genau eine reelle
> Nullstelle [mm]x_{n}[/mm] und [mm]x_{n}[/mm] liegt in (1,(1/2)).
>
> b) Zeigen Sie: Auf die gleichwertige Fixpunktgleichung
> [mm]x=(1/5)-(1/5)x^{5}=T(x)[/mm] lässt sich der Fixpunktsatz (FPS)
> anwenden.
>
> c) Berechnen Sie die Näherungswerte [mm]x_{1}, x_{2}[/mm] für
> [mm]x_{n},[/mm] die sich aus dem Fixpunktverfahren mit Startwert
> [mm]x_{0}=0,5[/mm] ergeben.
>
> d) Geben Sie mit der Fehlerabschätzung aus dem FPS eine
> Abschätzung für den Fehler [mm]|x_{n}- x_{2}|[/mm] an.
> Hallo,
> mit dieser Aufgabe habe ich so einige Probleme.
>
> zu a)
> Also, [mm]F(x)=x^{5}+5x-1[/mm] Ich habe hier schon sehr lange
> überlegt, aber irgendwie komme ich zu keinem Ergebnis. Die
> Funktion ist > 0 auf jeden Fall für x > (1/2) und die
> Funktion ist < 0 für alle x < 0. Nun weiß ich aber nicht,
> wann die Funktion = 0 ist, da ich diese Fuktion 5.Grades
> nicht lösen kann. Wie ist das denn möglich, da ein
> Ergebnis zu bekommen? Und reicht das überhaupt, das so zu
> zeigen? Eigentlich ist doch dann so gezeigt, dass es keine
> weitere Nullstelle geben kann, oder?
Evtl Hilft die Monotonie von f weiter. (Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das Intervall in dem [mm] x_{n} [/mm] liegt, falsch angegeben wurde).
Wenn du ein [mm] x_{1} [/mm] findest, mit [mm] f(x_{1})<0 [/mm] und [mm] x_{1}
[mm] x_{2} [/mm] mit [mm] f(x_{2})>0 [/mm] und [mm] x_{n}
>
> zu b)
> Der Fixpunktsatz hat folgende Schritte:
> 1) "in sich" (D bestimmen mit TD [mm]\le[/mm] D)
> 2) Existenz eines Fixpunktes in D
> 3) Kontraktion auf D
>
> Existenz eines Fixpunktes: f(0)=(1/5) und f(1/2)=0,194 In
> diesem Intervall ist der Fixpunkt also nicht, denn dann
> müsste doch ein Wert größer 0 sein und ein Wert kleiner,
> oder?
> Also ist der Fixpunkt in einem anderen Intervall, aber
> woher soll ich das denn kennen? Mache ich hier irgendeinen
> entscheidenden Denkfehler?
> Muss man sich das Intervall selbst überlegen? Also könnte
> ich etwa nehmen (-2,2) ?
> Wäre super, wenn mir das jemand erklären könnte. Vielleich
> komme ich dann auch weiter mit der Kontraktion und so..
Nimm mal als Besipiel die Nullstellenbetrachtung. Dazu mach dir mal erstmal ein sehr grosses Intervall. Also z.B. (-2;2), hier gilt ja: f(-2)<0 und f(2)>0. Jetzt nimm mal den Mittelwert der Intervallgrenzen, hier 0, und prüfe, ob f(0)>0 oder <0.
Hier ist f(0)<0, also liegt [mm] x_{n} [/mm] in Intervall (0;2)
Jetzt prüfe mal f(1)>0, also liegt [mm] x_{n} [/mm] in (0;1)
Und somit "kontrahierst" du das Intervall auf die gewünschte Genauigkeit.
Ähnlich funktioniert das mit dem Fixpunkt.
Hier suchst du ja den Punkt, an dem f(x)=x
Also fange mal an: [mm] T(\green{0})=\bruch{1}{5}\red{>}\green{0} [/mm] und [mm] T(\blue{\bruch{1}{2}})=\bruch{31}{160}\red{<}\blue{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Und Mit Hilfe des Fixpunktsatzes kannst du jetzt argumentieren, dass es ein [mm] x\in\left(0;\bruch{1}{2}\right) [/mm] geben muss, mit T(x)=x
> Viele Grüße,
> Anna
Marius
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:22 Fr 26.09.2008 | | Autor: | crazyhuts1 |
Hallo,
vielen Dank erstmal...
> Nimm mal als Besipiel die Nullstellenbetrachtung. Dazu mach
> dir mal erstmal ein sehr grosses Intervall. Also z.B.
> (-2;2), hier gilt ja: f(-2)<0 und f(2)>0. Jetzt nimm mal
> den Mittelwert der Intervallgrenzen, hier 0, und prüfe, ob
> f(0)>0 oder <0.
> Hier ist f(0)<0, also liegt [mm]x_{n}[/mm] in Intervall (0;2)
> Jetzt prüfe mal f(1)>0, also liegt [mm]x_{n}[/mm] in (0;1)
> Und somit "kontrahierst" du das Intervall auf die
> gewünschte Genauigkeit.
>
> Ähnlich funktioniert das mit dem Fixpunkt.
> Hier suchst du ja den Punkt, an dem f(x)=x
> Also fange mal an:
> [mm]T(\green{0})=\bruch{1}{5}\red{>}\green{0}[/mm] und
> [mm]T(\blue{\bruch{1}{2}})=\bruch{31}{160}\red{<}\blue{\bruch{1}{2}}.[/mm]
Ok. Ist das dann auch der Punkt des Fixpunktsatzes, der bei mir "Kontraktion auf D" heißt? Kann das sein?
Also, verstehe ich das richtig, und dabei nähere ich mich also auf diese Weise dem Fixpunkt:
Kann ich dabei beliebige Werte einsetzen? Zum Beispiel:
T(1/5)=0.199936<(1/5) Das Problem ist jetzt nur, dass man doch in dem Intervall keinen größeren Wert als 0 findet, bei dem f(x) einen größeren Wert als x ergibt. Und dabei nähert sich der Wert bei den Zahlen aus dem Intervall einsetzt, immer mehr an (1/5) an. Aber (1/5) kann doch der Fixpunkt nicht sein, das haben wir doch gerade gesehen.
Ich verstehe das nicht, wieso das so ist. Wo soll denn dann der Fixpunkt sein??
Wie weit muss man denn nun diese Kontraktion durchführen?? Und dann muss ich noch zeigen, dass das Intervall "in sich" bleibt. (D bestimmen mit [mm] TD\leD. [/mm] Bedeutet das wohl wirklich nur, dass ich die Intervallgrenzen einsetze,... und dann gucke das...??? Was will ich damit sehen??
>
> Und Mit Hilfe des Fixpunktsatzes kannst du jetzt
> argumentieren, dass es ein [mm]x\in\left(0;\bruch{1}{2}\right)[/mm]
> geben muss, mit T(x)=x
Wenn ich diese Punkte, die ich oben beschrieben habe, durchgeführt habe, habe ich dann damit automatisch gezeigt, dass ein Fixpunkt in D existiert, oder gehört zum Fixpunktsatz noch etwas??
Wäre echt super, wenn mir da noch mal jemand auf die Sprünge helfen könnte... komme da so irgendwie nicht weiter....
Viele Grüße,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:24 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo crazyhuts!
Wenn man die Funktion plottet, sieht man, dass die Nullstelle im Intervall
[mm] [-\bruch{1}{2}; [/mm] 0] liegt, Es scheint hier ein Fehler in der Angabe vor zuliegen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Das Intervall ist natürlich [mm] [0;\bruch{1}{2}] [/mm] wie man sieht
f(0) = -1 < 0
[mm] f(\bruch{1}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{32}+\bruch{5}{2}-1 [/mm] = [mm] \bruch{49}{32}>0
[/mm]
Wegen des Vorzeichenwechsel in diesem Intervall muss die stetige Funktion eine Nullstelle haben.
Zu zeigen bleibt also, dass die Fixpunktform
[mm] F(x)=\bruch{1}{5}-\bruch{1}{5}x^5
[/mm]
auf diesem Intervall kontrahierend ist.
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Hallo,
danke schonmal, aber wie zeigt man das, dass die Funktion kontrahierend ist?? Ich kann das so überhaupt nicht zeigen... denn es reicht ja anscheinend nicht aus, dass man in T(x) immer kleinere Werte einsetzt...
Kann mir das jemand erklären, wie man zeigt, dass die Funktion kontrahierend ist?? Das wäre echt super!!! Scheint ja wirklich wichtig zu sein für den FPS.
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir haben F(x) = 1/5 [mm] -(1/5)x^5 [/mm] für x [mm] \in [/mm] D := [0,1/2]
Für x, y [mm] \in [/mm] D ist nach dem Mittelwertsatz:
F(x)-F(y) = F'(t) (x-y) = [mm] -t^4(x-y), [/mm] wobei t zwischen x und y, somit insbesondere t [mm] \in [/mm] [0,1/2], also [mm] t^4 \le [/mm] 1/(16). Folglich:
|F(x)-F(y)| [mm] \le t^4|x-y| \le [/mm] 1/(16)|x-y|
FRED
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Hallo,
super, danke. Hab ich kapiert....
ist das dann jetzt alles und man hat damit die Kontraktion gezeigt??? Ist das dann alles für den Fixpunktsatz, also für Aufgabe b)??? Wie zeigt man denn das mit der "Abbildung in sich"? Reicht das dafür, dass man für x jeweils die Intervallenden einsetzt? Aber was will man dann damit herausbekommen???
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 29.09.2008 | | Autor: | fred97 |
Die Funktion F ist auf [0,1/2] monoton fallend , F(0) = 1/5 und F(1/2) [mm] \le [/mm] 1/2 (das letzte prüfe bitte ausnahmsweise mal selbst nach),
Also: F([0,1/2]) [mm] \subseteq [/mm] [0,1/2] ("Abb. in sich")
Dass F eine Kontraktion auf [0,1/2] ist habe ich Dir oben schon gezeigt, dass F in [0,1/2] einen Fixpunkt hat, hat M.Rex Dir schon gezeigt. Der Fixpunktsatz besagt nun:
F hat in [0,1/2] genau einen Fixpunkt
FRED
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