Fkt. in Punkt differenzierbar? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:07 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
| Aufgabe | Gegeben ist folgende Funktion: f(x,y) = | a | + | b |.
In welchen Punkten des [mm] $\mathbb [/mm] R ^ {2}$ ist f : [mm] $\mathbb [/mm] R ^ {2} [mm] \Rightarrow \mathbb$ [/mm] R differenzierbar? Berechnen Sie f' wo immer die Ableitung existiert? |
Wie geht man hier geschickt vor? Macht es Sinn, zunächst bei P(0,0) anzufangen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
- http://www.matheboard.de
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> Gegeben ist folgende Funktion: f(x,y) = | a | + | b |.
>
> In welchen Punkten des [mm]\mathbb R ^ {2}[/mm] ist f : [mm]\mathbb R ^ {2} \Rightarrow \mathbb[/mm]
> R differenzierbar?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
So, wie es jetzt dasteht, kome ich zu der Auffassung, daß a und b irgendwelche festen Zahlen sind, die Funktion also konstant.
Damit sollte sie überall diffbar sein.
Eine gewisse Lebenserfahrung allerdings sagt mir, daß Du uns die Aufgabenstellung nicht komplett und im O-Ton verraten hast.
> Berechnen Sie f' wo immer die Ableitung
> existiert?
> Wie geht man hier geschickt vor? Macht es Sinn, zunächst
> bei P(0,0) anzufangen?
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> - http://www.matheboard.de
Poste in Zukunft bitte den direkten Link zu Deinen Threads in anderen Foren.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich vermute, dass f so lautet:
f(x,y)=|x|+|y|.
Nimm Dir einen Punkt [mm] (x_0,y_0) \in \IR^2 [/mm] vor und zeige zunächst:
f ist in [mm] (x_0,y_0) [/mm] partiell differenzierbar [mm] \gdw x_0 \ne [/mm] 0 und [mm] y_0 \ne [/mm] 0.
Das heißt also schon mal: ist [mm] x_0= [/mm] 0 oder [mm] y_0 [/mm] =0, so ist f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] nicht partiell differenzierbar , also auch nicht differenzierbar.
Sei [mm] x_0>0 [/mm] und [mm] y_0>0. [/mm] Dann gibt es eine Umgebung U von [mm] (x_0,y_0) [/mm] mit: x>0 und y>0 für jedes (x,y) [mm] \in [/mm] U.
Damit ist f(x,y)=x+y auf U. Daher: gradf(x,y)= (1,1) auf U. grad f ist also auf U stetig. Was folgt für die Differenzierbarkeit von f in [mm] (x_0,y_0) [/mm] ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Do 05.05.2011 | | Autor: | Ingo23 |
> Ich vermute, dass f so lautet:
>
> f(x,y)=|x|+|y|.
Ja
> Nimm Dir einen Punkt [mm](x_0,y_0) \in \IR^2[/mm] vor und zeige
> zunächst:
>
> f ist in [mm](x_0,y_0)[/mm] partiell differenzierbar [mm]\gdw x_0 \ne[/mm] 0
> und [mm]y_0 \ne[/mm] 0.
Ich verstehe nicht, was es mit diesen "Punkten" auf sich hat. Die partielle Ableitung von einer "Koordinate" kann ich bilden.
Oder ist mit "Punkt" die "Koordinate" gemeint? Ist das nicht der Fall, was ist der Unterschied zwischen "Punkt" und "Koordinate".
Könntest du mir bitte beispielhaft einen Punkte nennen, nach den ich ableiten könnte?
> Das heißt also schon mal: ist [mm]x_0=[/mm] 0 oder [mm]y_0[/mm] =0, so ist f
> in [mm](x_0,y_0)[/mm] nicht partiell differenzierbar , also auch
> nicht differenzierbar.
Wenn ich zeige, dass f in [mm](x_0,y_0)[/mm] partiell differenzierbar für [mm]x_0 \ne[/mm] 0 und [mm]y_0 \ne[/mm] 0 ist, wieso habe ich dann gezeigt, dass f in [mm](x_0,y_0)[/mm] 0 für [mm]x_0=[/mm] 0 oder [mm]y_0[/mm] =0 nicht partiell differenzierbar ist?
> Sei [mm]x_0>0[/mm] und [mm]y_0>0.[/mm] Dann gibt es eine Umgebung U von
> [mm](x_0,y_0)[/mm] mit: x>0 und y>0 für jedes (x,y) [mm]\in[/mm] U.
>
> Damit ist f(x,y)=x+y auf U. Daher: gradf(x,y)= (1,1) auf
> U. grad f ist also auf U stetig.
Kannst du die Herleitung dieser Erkenntis bitte etwas weiter ausführen?
> Was folgt für die
> Differenzierbarkeit von f in [mm](x_0,y_0)[/mm] ?
[mm] $f:D\Rightarrow \mathbb R^{m} (D\subset R^{n})$ [/mm] ist in dem inneren Punkt [mm] $x_0$ [/mm] aus $D$ differenzierbar, wenn alle partiellen Ableitungen von $f$ in einer Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] existieren und in [mm] $x_0$ [/mm] stetig sind.
Daraus folgt, f ist in [mm](x_0,y_0)[/mm] für alle [mm] $x_0$>0 [/mm] und [mm] $y_0$>0 [/mm] und differenzierbar?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Fr 06.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst IN einem Punkt die Existenz der partiellen Ableitungen und deren Stetigkeit zeigen. ableiten kannst du nur nach x oder y
was ist wenn der Punkt eine Koordinate 0 hat? das hat fred indirekt gesagt.
>Wenn ich zeige, dass f in $ [mm] (x_0,y_0) [/mm] $ partiell differenzierbar für $ [mm] x_0 >\ne [/mm] $ 0 und $ [mm] y_0 \ne [/mm] $ 0 ist, wieso habe ich dann gezeigt, dass f in $ [mm] <(x_0,y_0) [/mm] $ 0 für $ [mm] x_0= [/mm] $ 0 oder $ [mm] y_0 [/mm] $ =0 nicht partiell differenzierbar <ist?
während du zeigst, dass es in [mm] (x_0,y_0) [/mm] psrt. diffbar ist solltest du merken dass das nur für [mm] x_0\ne [/mm] 0 gilt.
Gruss leduart
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