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Hallo zusammen,
ich hbe folge aufgabe bekommen und verstehe eine Sache nicht ganz.
sei f [mm] \in C^{\infty} [/mm] . was ist dieses [mm] C^{\infty} [/mm] ?
ich freue mich auf antworten :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
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> ich hbe folge aufgabe bekommen und verstehe eine Sache
> nicht ganz.
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> sei f [mm]\in C^{\infty}[/mm] . was ist dieses [mm]C^{\infty}[/mm] ?
Ist $D [mm] \subseteq \IR^n$, [/mm] so ist [mm]C^{\infty}(D)[/mm] die Menge der auf D beliebig oft differenzierbaren Funktionen.
FRED
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> ich freue mich auf antworten :)
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ok sehr gut danke :) ist ja einfacher als gedacht :P
so jetzt habe ich allerdings noch eine frage... :D
und zwar zur taylorreihe:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(x)}{n!} x^{n} [/mm] konvergiert das ding, wenn wir uns um x0=0 bewegen und die ableitungen alle positiv sind?
ich habe absolut keine ahung wie man das zeigt :D
beste grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> ok sehr gut danke :) ist ja einfacher als gedacht :P
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> so jetzt habe ich allerdings noch eine frage... :D
>
> und zwar zur taylorreihe:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(x)}{n!} x^{n}[/mm]
> konvergiert das ding, wenn wir uns um x0=0 bewegen und die
> ableitungen alle positiv sind?
Du meinst sicher $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} [/mm] $ . in x=0 ist die Reihe sicher konvergent, aber es gibt Fälle, in denen das der einzige Punkt ist , in dem Konvergenz vorliegt. Sieh mal hier:
http://www.mathematik.uni-regensburg.de/broecker/a4.pdf
Seite 148, Satz von Borel (4.5)
FRED
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> ich habe absolut keine ahung wie man das zeigt :D
> beste grüße
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hey, danke der link ist schon ganz cool, aber ich verstehe leider noch nicht so recht, was es mit borel so auf sich hat...
was ich allersdings bis jetzt rausgefunden habe, nämlich dass [mm] f^{(n)}(x)>0 [/mm] sein muss, oder?
aber leider komme ich nicht wieter, wie man jetzt zeit, dass diese taylorreihe konvergent ist....
ich freue mich über ideen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> hey, danke der link ist schon ganz cool, aber ich verstehe
> leider noch nicht so recht, was es mit borel so auf sich
> hat...
Schau mal hier: https://matheraum.de/read?i=785411
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> was ich allersdings bis jetzt rausgefunden habe, nämlich
> dass [mm]f^{(n)}(x)>0[/mm] sein muss, oder?
Da mußt Du schon genauer sein: für ein x ? für 17 x , für x in einer Umgebung des Entwicklungspunktes ????
FRED
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> aber leider komme ich nicht wieter, wie man jetzt zeit,
> dass diese taylorreihe konvergent ist....
>
> ich freue mich über ideen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Di 12.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo zusammen,
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> ich hbe folge aufgabe bekommen und verstehe eine Sache
> nicht ganz.
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> sei f [mm]\in C^{\infty}[/mm] . was ist dieses [mm]C^{\infty}[/mm] ?
>
> ich freue mich auf antworten :)
nur ergänzend:
dieses [mm] $C\,$ [/mm] kommt aus dem französischen und steht für "continu", also das französische Wort für stetig. Nun spricht man von [mm] $C\,$ [/mm] (oder auch [mm] $C^0$)-Funktionen [/mm] auch anstelle von stetigen Funktionen. Da es differenzierbare Funktionen gibt (die notwendig stetig sein müssen), deren Ableitung aber nicht stetig ist, klassifiziert man mit [mm] $C^1$-Funktionen [/mm] eben solche (stetigen und-) differenzierbaren Funktionen, die auch eine stetige Ableitung haben und spricht dann auch von "stetig differenzierbaren Funktionen" (das soll NICHT betonen, dass eine [mm] $C^1$-Funktion [/mm] neben der Eigenschaft, diff'bar zu sein, auch die Eigenschaft hat, stetig zu sein, was jede diff'bare Funktion ist; sondern dass eine Funktion eine [mm] $C^1$-Funktion [/mm] ist, besagt, dass diese differenzierbare Funktion - die eh schon stetig sein muss - auch eine stetige Ableitung hat!). Entsprechend sind [mm] $C^k$-Funktionen [/mm] (für $k [mm] \in \mathbb{N} \cup \{0\}$) [/mm] Funktionen, die [mm] $k\,$-mal [/mm] differenzierbar sind (insbesondere sind die $k-1$ Ableitungen einer solchen stets stetig) und eine stetige [mm] $k\,$-te [/mm] Ableitung hat.
Und dementsprechend kann man, wie Fred es in Worten ausgedrückt hat, sagen:
[mm] $$C^\infty:=\bigcap_{k \in \IN}C^k$$
[/mm]
ist die Klasse beliebig oft differenzierbarer Funktionen (wobei eine jede Ableitung irgendeiner Funktion aus dieser Klasse natürlich insbesondere auch stetig sein muss).
Übrigens gilt auch:
[mm] $$C^\infty=\bigcap_{\substack{p \in \IN \cup \{0\}\\ p \ge n}}C^p$$
[/mm]
für jedes feste $n [mm] \in \IN \cup \{0\}\,.$ [/mm] Warum?
Gruß,
Marcel
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