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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Sa 08.08.2009 | | Autor: | tower |
| Aufgabe | Gegeben sei das Polynom dritten Grades:
[mm] f(x) = x^3 - 3x[/mm]
a) Berechne die Fläche, die von dieser Kurve und ihrer Tangente im Maximum eingeschloßen wird. |
Hallo,
habe bei diesen Aufgaben immer Probleme mit den Vorzeichen.
mein Ansatz sieht wie folgt aus:
[mm] f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow x = \pm \wurzel{1}[/mm]
[mm] f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow x = -1 ist Maximum[/mm]
dann habe ich y bestimmt:
[mm] f(-1) = -1 + 3 = 2[/mm]
und die Tangentengleichung:
[mm] g(x) = 2[/mm]
jetzt habe ich die obere Integrationsgrenze bestimmt:
[mm] g(x) = f(x)[/mm]
[mm] 2= x^3 - 3x \Rightarrow x_{1} = -1[/mm] und [mm]x_{2} = 2[/mm]
die Fläche:
[mm] F = \integral_{-1}^{2}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
hier bin ich der Meinung irgendwo mal aufgeschnappt zu haben, dass gilt: obere Kurve minuns untere Kurve?
naja, weiter habe ich dann:
[mm] F = \integral_{-1}^{2}{(2)-(x^3 - 3x) dx}[/mm]
[mm] F = (2x) - (\bruch{1}{4}x^4 - \bruch{3}{2}x^2)| mit der unteren Grenze -1 und der oberen Grenze von 2[/mm]
[mm] F = [(4) - ( \bruch{16}{4} - \bruch{12}{2})] - [ (-2x) - (\bruch{1}{4} - \bruch{3}{2})][/mm]
[mm] F = [(4) - (-2)] - [(-2) - (-\bruch{5}{4})] = [6] - [-\bruch{3}{4}][/mm]
und hier ist jetzt mein eigentliches Problem (das Ergebnis der Aufgabe ist mir bekannt, sollte [mm]5\bruch{1}{4}[/mm] heraus kommen), nur wie mache ich es mit dem Minus hier? Muss ich hier beide Seiten als Betrag auffassen? da mir Das nicht das erste mal an dieser Stelle passiert wäre ich dankbar für einen Tipp!
Mfg, tower
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Hallo tower,
> Gegeben sei das Polynom dritten Grades:
>
> [mm]f(x) = x^3 - 3x[/mm]
>
> a) Berechne die Fläche, die von dieser Kurve und ihrer
> Tangente im Maximum eingeschloßen wird.
> Hallo,
>
> habe bei diesen Aufgaben immer Probleme mit den
> Vorzeichen.
>
> mein Ansatz sieht wie folgt aus:
>
> [mm]f'(x) = 3x^2 - 3 \Rightarrow x = \pm \wurzel{1}[/mm]
>
> [mm]f''(-1) = -6 < 0 \Rightarrow x = -1 ist Maximum[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> dann habe ich y bestimmt:
> [mm]f(-1) = -1 + 3 = 2[/mm]
>
> und die Tangentengleichung:
> [mm]g(x) = 2[/mm]
>
> jetzt habe ich die obere Integrationsgrenze bestimmt:
> [mm]g(x) = f(x)[/mm]
> [mm]2= x^3 - 3x \Rightarrow x_{1} = -1[/mm] und
> [mm]x_{2} = 2[/mm]
>
> die Fläche:
> [mm]F = \integral_{-1}^{2}{g(x)-f(x) dx}[/mm]
> hier bin ich der
> Meinung irgendwo mal aufgeschnappt zu haben, dass gilt:
> obere Kurve minuns untere Kurve?
Ja, das ist sinnvoll, aber nicht zwingend notwendig; im anderen Fall musst du den Betrag des Integrals nehmen, wenn du die Funktion $f(x)-g(x)$ integrierst, bekommst du einen negativen Flächeninhalt
>
> naja, weiter habe ich dann:
> [mm]F = \integral_{-1}^{2}{(2)-(x^3 - 3x) dx}[/mm]
>
> [mm]F = (2x) - (\bruch{1}{4}x^4 - \bruch{3}{2}x^2)| mit der unteren Grenze -1 und der oberen Grenze von 2[/mm]
>
> [mm]F = [(4) - ( \bruch{16}{4} - \bruch{12}{2})] - [ (-2x) - (\bruch{1}{4} - \bruch{3}{2})][/mm]
>
> [mm]F = [(4) - (-2)] - [(-2) - (-\bruch{5}{4})] = [6] - [-\bruch{3}{4}][/mm]
Alles richtig! Der FI ist $6,75 F.E.$
>
> und hier ist jetzt mein eigentliches Problem (das Ergebnis
> der Aufgabe ist mir bekannt, sollte [mm]5\bruch{1}{4}[/mm] heraus
> kommen),
Das stimmt nicht, da hat sich entweder jemand vertan oder du hast nen Fehler in der Aufgabenstellung.
Deine Rechungen zu der oben gestellten Aufgabe sind alle richtig!
> nur wie mache ich es mit dem Minus hier? Muss ich
> hier beide Seiten als Betrag auffassen? da mir Das nicht
> das erste mal an dieser Stelle passiert wäre ich dankbar
> für einen Tipp!
>
> Mfg, tower
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 So 09.08.2009 | | Autor: | tower |
Hallo nochmal,
weiter stelle ich mir die frage, was genau mit der Teilaufgabe b gemeint ist?
b) Brechne die Fläche zwischen dieser Kurve und derjenigen Geraden durch ihren Wendepunkt, die senkrecht auf der Wendetangente steht.
was bedeutet hier senkrecht? orthogonal zur Wendetangente?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:01 So 09.08.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo tower!
> was bedeutet hier senkrecht? orthogonal zur Wendetangente?
Genau.
Gruß
Loddar
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