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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Skyler |
| Aufgabe | [mm] -x_1^2-x_2^2+2x_3^2+8x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3-6x_1+12x_2-6=0 [/mm]
Transformieren SIe auf Normalform und bestimmen Sie den Flächentyp |
Hallo!
ALso nach Umformung komme ich auf folgendes:
[mm] A= \begin{pmatrix}
-1 & 4 & -2 \\
4 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
und [mm] \vec b = \begin{pmatrix}
-6 \\
12 \\ 0
\end{pmatrix} [/mm]
Die EIgenwerte habe ich acuh bestimmt:
[mm] \gamma _1_,_2=3 [/mm] ; [mm] \gamma_3=-6 [/mm]
Diese stimmen auch.
Doch nun hakt es bei mir, wie ich weiter vorgehen soll, vllt fehlen mir auch einfach die Formeln bzw. ist mir ab nun das Schema unklar. SOll ich die EIgenvektoren ausrechnen? und dann? würde mich über ein paar tipps von euch bedanken
liebe grüße skyler
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Hallo Skyler,
> [mm]-x_1^2-x_2^2+2x_3^2+8x_1x_2-4x_1x_3+4x_2x_3-6x_1+12x_2-6=0[/mm]
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> Transformieren SIe auf Normalform und bestimmen Sie den
> Flächentyp
> Hallo!
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> ALso nach Umformung komme ich auf folgendes:
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> [mm]A= \begin{pmatrix}
-1 & 4 & -2 \\
4 & -1 & 2 \\ -2 & 2 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
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> und [mm]\vec b = \begin{pmatrix}
-6 \\
12 \\ 0
\end{pmatrix}[/mm]
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> Die EIgenwerte habe ich acuh bestimmt:
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> [mm]\gamma _1_,_2=3[/mm] ; [mm]\gamma_3=-6 [/mm]
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> Diese stimmen auch.
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> Doch nun hakt es bei mir, wie ich weiter vorgehen soll,
> vllt fehlen mir auch einfach die Formeln bzw. ist mir ab
> nun das Schema unklar. SOll ich die EIgenvektoren
> ausrechnen? und dann? würde mich über ein paar tipps von
> euch bedanken
Ja, bestimme zunächst die Eigenvektoren.
Die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm]\gamma_{k}[/mm] sind
genau die jenigen Vektoren, die im Kern[mm]\left(A-\gamma_{k}*I\right)[/mm] liegen.
Demnach Lösungsmenge des Systems
[mm]\left(A-\gamma_{k}*I\right)\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}[/mm]
, wobei I die Einheitsmatrix im [mm]\IR^{3}[/mm]
und [mm]\overrightarrow{x}=\pmat{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}}[/mm] ist.
Baue dann die gefundenen Eigenvektoren in eine Matrix T ein.
Die Matrix T sollte so geartet sein, daß [mm]T^{t}AT[/mm] eine Diagonalmatrix ergibt.
>
> liebe grüße skyler
Gruß
MathePower
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