Fläche Gleichseitiges Dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:04 Do 03.03.2005 | | Autor: | Tobi84 |
Hallo! Allgemein bekannt ist die Berchnung der Fläche in einem Gleichseitigen Dreieck die Lautet (2²/4) * Wurzel(3)
Ich soll die aber selbst herleiten!
Naja, ich habe mir also so ein Dreieck gedacht und eine Höhe gezogen den das erste was ich brauche ist ja die Höhe um die Fläche berechnen zu können.oder?
dann kann ich sagen a² = (a/2)² + h² dann umstellen:
H² =a²- (a/2)²
H² = 3/4a²
H = Wurzel(3/4a²)
Nun kann ich die fläche berechnen mit 2* ((G*H)/2)
Das mal 2 und geteilt durch 2 hebt sich ja quasi auf also nur noch
also a * Wurzel(3/4a²)
aber dann kommt nur noch genau die hälfte von dem raus was mit der normalen formel rausbekommen müste...
Rechenfehler? Logikfehler? oder beides :(?
danke für eine Antwort
LG TObi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Do 03.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobi!
> Hallo! Allgemein bekannt ist die Berchnung der Fläche in
> einem Gleichseitigen Dreieck die Lautet (2²/4) *
> Wurzel(3)
Hier hast Du Dich wohl vertippt. Es sollte wohl heißen:
[mm] $A_{\Delta} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{a}^2}{4}*\wurzel{3}$
[/mm]
> Naja, ich habe mir also so ein Dreieck gedacht und eine
> Höhe gezogen den das erste was ich brauche ist ja die Höhe
> um die Fläche berechnen zu können.oder?
> dann kann ich sagen a² = (a/2)² + h² dann umstellen:
> H² =a²- (a/2)²
> H² = 3/4a²
> H = Wurzel(3/4a²)
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Stimmt genau ...
> Nun kann ich die fläche berechnen mit 2* ((G*H)/2)
Hier hast Du Deinen Denkfehler!
Für das allgemeine Dreieck gilt doch:
$A \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*g*h_g$ [/mm] (also ohne den Faktor "2" ...)
Wenn wir dann unsere ermittelten Seiten einsetzen, erhalten wir doch:
$A \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * g * [mm] h_g [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \underbrace{a}_{= g} [/mm] * [mm] \underbrace{\wurzel{\bruch{3}{4}*a^2}}_{=h_g} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * a * [mm] \bruch{a}{2}*a [/mm] * [mm] \wurzel{3} [/mm] \ = \ ...$
Und daraus erhalten wir dann unser "gewünschtes" Ergebnis!
Alles klar nun?
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 03.03.2005 | | Autor: | Tobi84 |
aber muss es dann nicht heissen:
(1/2*a) *(a/2) * Wurzel(3) = ????
statt (1/2*a) *(a/2) * a* Wurzel(3) =? *grübel*
oder wo zauber ich jezz noch das eine a her wenn ich das aus der wurzel vereinfache??
kann aber auch sein das ich heute abend einfach zu müde bin*g*
LG TObi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Do 03.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tobi!
Ich glaube, jetzt sehe ich Deinen Denkfehler!
Zur Bestimmung der Höhe $h$ hast du ja lediglich das halbe Dreieck betrachtet, um den den alten Griechen namens Pythagoras anwenden zu können - und da war die eine Grundseite ja [mm] $\bruch{a}{2}$.
[/mm]
Dies war aber lediglich eine Hilfskonstruktion zur Bestimmung von $h$.
Den Flächeninhalt $A$ wollen wir aber wieder vom ganzen (gleichseitigen) Dreieck errechnen.
Und da beträgt die Grundseite nun genau$g \ = \ a$ !!
Wir haben für die Höhe ermittelt:
[mm] $h_g [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{3}{4}*a^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3 * \bruch{a^2}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{a^2}{2^2}} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{3} [/mm] * [mm] \bruch{a}{2}$
[/mm]
Diese beiden Werte $g$ und [mm] $h_g$ [/mm] setze ich dann in die allgemeine Dreiecksflächenformel ein (siehe oben) ...
Hat's jetzt "klick" gemacht?
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Do 03.03.2005 | | Autor: | Tobi84 |
danke für die schnellen Antworten! ;) ich denke ich habs gerafft :)
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